e pede para calcular \,A^{2025}\,. Foram dadas cinco alternativas:
(a) \,A^{2025}=A\,;
(b) \,A^{2025}=I\,;
(c) \,A^{2025}=-A\,;
(d) \,A^{2025}=-I\,;
(e) \,A^{2025}=\begin{pmatrix}3^{2025} & 8^{2025} \\\\ -1 & -3^{2025}\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 2\times2 com entradas inteiras.
Precisa-se de uma potência muito alta, \,2025, então é sensato procurar uma relação simples entre potências de A (como A^2, A^3, etc.) que torne o cálculo prático.]
Passo 2
Primeiro, lembrar e entender como multiplicar duas matrizes 2\times2. Se
B=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C=\begin{pmatrix}e & f \\[4pt] g & h\end{pmatrix},
As raízes são \lambda=\pm 1. Como os autovalores são 1 e -1, para qualquer potência inteira de A os autovalores ficam \lambda^n\in\{1,-1\}, e a relação A^2=I aparece naturalmente. Isso confirma a conclusão dos passos anteriores.]