1. Dada a matriz A=\left(\begin{array}{cc}3 & 8 \\\\ -1 & -3\end{array}\right), ao calcularmos A^{2025} encontramos:
    a) A^{2025}=A;
    b) A^{2025}=I;
    c) A^{2025}=-A;
    d) A^{2025}=-I;
    e) A^{2025}=\left(\begin{array}{cc}3^{2025} & 8^{2025} \\\\ -1 & -3^{2025}\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 8 \\[4pt] -1 & -3\end{pmatrix},
e pede para calcular \,A^{2025}\,. Foram dadas cinco alternativas:
(a) \,A^{2025}=A\,;
(b) \,A^{2025}=I\,;
(c) \,A^{2025}=-A\,;
(d) \,A^{2025}=-I\,;
(e) \,A^{2025}=\begin{pmatrix}3^{2025} & 8^{2025} \\\\ -1 & -3^{2025}\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 2\times2 com entradas inteiras.
  • Precisa-se de uma potência muito alta, \,2025, então é sensato procurar uma relação simples entre potências de A (como A^2, A^3, etc.) que torne o cálculo prático.]

Passo 2

Primeiro, lembrar e entender como multiplicar duas matrizes 2\times2. Se
B=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C=\begin{pmatrix}e & f \\[4pt] g & h\end{pmatrix},
então o produto BC é
BC=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\[4pt] ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}.
Cada entrada do produto é soma de produtos dos elementos da linha de B pelos da coluna de C.
Agora aplicamos isso para calcular A^2=A\cdot A. Vamos calcular cada entrada explicitamente (tudo em TeX):
  • Entrada (1,1):
3\cdot 3 + 8\cdot(-1) = 9 - 8 = 1.
  • Entrada (1,2):
3\cdot 8 + 8\cdot(-3) = 24 - 24 = 0.
  • Entrada (2,1):
(-1)\cdot 3 + (-3)\cdot(-1) = -3 + 3 = 0.
  • Entrada (2,2):
(-1)\cdot 8 + (-3)\cdot(-3) = -8 + 9 = 1.
Portanto, o produto é
A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

A matriz obtida em \,A^2 é a matriz identidade I. Ou seja,
A^2=I.
Agora uma ideia importante e muito útil para a prova: se A^2=I, então para qualquer inteiro não-negativo k vale
A^{2k}=(A^2)^k=I^k=I
e
A^{2k+1}=A^{2k}\,A=I\cdot A=A.
Isto decorre simplesmente da propriedade de potências e da igualdade A^2=I. Em palavras: potências pares de A dão I; potências ímpares dão A.

Passo 4

Precisamos decidir se o expoente 2025 é par ou ímpar. Fazendo a divisão por 2:
2025 = 2\cdot 1012 + 1,
pois 2\cdot 1012 = 2024 e sobra 1. Portanto 2025 é ímpar e tem a forma 2k+1 com k=1012.
Usando a relação geral do passo anterior para expoentes ímpares, obtém‑se a potência solicitada (aplicando a propriedade A^{2k+1}=A com k=1012).

Passo 5

(Comentário extra, útil para fixar a ideia.) Uma outra forma de ver o mesmo resultado é estudar o polinômio característico de A. Calculando:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 8 \\[4pt] -1 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-3-\lambda)-8(-1)=\lambda^2-1.
As raízes são \lambda=\pm 1. Como os autovalores são 1 e -1, para qualquer potência inteira de A os autovalores ficam \lambda^n\in\{1,-1\}, e a relação A^2=I aparece naturalmente. Isso confirma a conclusão dos passos anteriores.]

Resposta

a) A^{2025}=A

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