- Considere as seguintes asserções:
I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa;
II) Se
possui inversa, então
;
III) Se
e
possuem inversa, então
possui inversa.
Podemos afirmar que:
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.
I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa;
II) Se
III) Se
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dadas três asserções sobre matrizes quadradas:
I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.
II) Sepossui inversa, então .
III) See possuem inversa, então possui inversa. -
O que o exercício pede: identificar quais dessas asserções são verdadeiras entre as alternativas:
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.
Informações relevantes que temos e vou usar explicitamente:
- Definição de matriz invertível: uma matriz quadrada
é invertível se existe uma matriz quadrada tal que , onde é a matriz identidade. - Critério prático (que vou usar para contraexemplos): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se,
. - A transposição tem a propriedade
para matrizes compatíveis.
Passo 2
Analisando a asserção I: “Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.”
Explicação didática do que significa e por que é falsa:
- “Matriz não-nula” normalmente significa que nem todas as entradas são zero (ou seja, a matriz não é a matriz zero). Mas isso não garante que a matriz seja invertível.
- Lembrete: para ser invertível é preciso
. Existem matrizes que não são a matriz zero, mas têm determinante zero (são singulares) e portanto NÃO têm inversa.
Vou dar um contraexemplo simples e mostrar o cálculo do determinante:
- Tome
Essa matriz não é a matriz zero (tem entradas diferentes de zero). - Calcule o determinante:
Como , não é invertível. - Conclusão: a asserção I é falsa, porque já existe uma matriz quadrada não-nula que não possui inversa.]
Passo 3
Analisando a asserção II: “Se
possui inversa, então
.”
Vou provar isso de forma direta e bem explicada:
- Parte das hipóteses:
é invertível, então existe tal que - Transpondo ambos os lados da igualdade (lembrando que a transposta da identidade é a própria identidade), obtemos
- Usando a propriedade
, o lado esquerdo vira Assim - Essa igualdade mostra que
é um inverso à direita de . Fazendo o mesmo com e transpondo, obteríamos mostrando que é também inverso à esquerda. Portanto é o inverso de . - Conclusão:
é invertível e - Logo, a asserção II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a asserção III: “Se
e
possuem inversa, então
possui inversa.”
Explicação didática e contraexemplo:
- Intuição: a inversibilidade não é necessariamente preservada por soma. Não existe uma regra geral que garanta que
seja invertível só porque e são. - Contraexemplo muito simples: escolha
e , onde é a matriz identidade. Ambas são invertíveis ( e ). Porém e a matriz zero não é invertível. Portanto pode não ser invertível. - Conclusão: a asserção III é falsa.
Observação adicional (didática): às vezes
é invertível (por exemplo se
for suficientemente “pequena” em algum sentido), mas não há garantia geral — por isso o contraexemplo é suficiente para decidir a falsidade da afirmação universal.
Passo 5
Resumo e escolha final:
- I é falsa (mostrei um contraexemplo com
). - II é verdadeira (provei transpondo
). - III é falsa (contraexemplo
).
Portanto, apenas a asserção II é verdadeira.
Resposta
b)