1. Considere as seguintes asserções:
    I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa;
    II) Se A possui inversa, então \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t};
    III) Se A e B possuem inversa, então A+B possui inversa.
Podemos afirmar que:
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dadas três asserções sobre matrizes quadradas:
    I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.
    II) Se A possui inversa, então \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.
    III) Se A e B possuem inversa, então A+B possui inversa.
  • O que o exercício pede: identificar quais dessas asserções são verdadeiras entre as alternativas:
    a) somente I) é verdadeira;
    b) somente II) é verdadeira;
    c) somente II) e III) são verdadeiras;
    d) todas são verdadeiras;
    e) todas são falsas.
Informações relevantes que temos e vou usar explicitamente:
  • Definição de matriz invertível: uma matriz quadrada A é invertível se existe uma matriz quadrada A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I, onde I é a matriz identidade.
  • Critério prático (que vou usar para contraexemplos): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • A transposição tem a propriedade (XY)^t = Y^t X^t para matrizes compatíveis.

Passo 2

Analisando a asserção I: “Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.”
Explicação didática do que significa e por que é falsa:
  • “Matriz não-nula” normalmente significa que nem todas as entradas são zero (ou seja, a matriz não é a matriz zero). Mas isso não garante que a matriz seja invertível.
  • Lembrete: para ser invertível é preciso \det(A)\neq 0. Existem matrizes que não são a matriz zero, mas têm determinante zero (são singulares) e portanto NÃO têm inversa.
Vou dar um contraexemplo simples e mostrar o cálculo do determinante:
  • Tome A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.Essa matriz não é a matriz zero (tem entradas diferentes de zero).
  • Calcule o determinante: \det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 2 = 2-2=0.Como \det(A)=0, A não é invertível.
  • Conclusão: a asserção I é falsa, porque já existe uma matriz quadrada não-nula que não possui inversa.]

Passo 3

Analisando a asserção II: “Se A possui inversa, então \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.”
Vou provar isso de forma direta e bem explicada:
  • Parte das hipóteses: A é invertível, então existe A^{-1} tal que A A^{-1} = I.
  • Transpondo ambos os lados da igualdade (lembrando que a transposta da identidade é a própria identidade), obtemos (A A^{-1})^{t} = I^{t} = I.
  • Usando a propriedade (XY)^{t}=Y^{t}X^{t}, o lado esquerdo vira (A A^{-1})^{t} = (A^{-1})^{t} A^{t}.Assim (A^{-1})^{t} A^{t} = I.
  • Essa igualdade mostra que (A^{-1})^{t} é um inverso à direita de A^{t}. Fazendo o mesmo com A^{-1}A=I e transpondo, obteríamos A^{t}(A^{-1})^{t}=I,mostrando que é também inverso à esquerda. Portanto (A^{-1})^{t} é o inverso de A^{t}.
  • Conclusão: A^{t} é invertível e \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.
  • Logo, a asserção II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a asserção III: “Se A e B possuem inversa, então A+B possui inversa.”
Explicação didática e contraexemplo:
  • Intuição: a inversibilidade não é necessariamente preservada por soma. Não existe uma regra geral que garanta que A+B seja invertível só porque A e B são.
  • Contraexemplo muito simples: escolha A=I e B=-I, onde I é a matriz identidade. Ambas são invertíveis ( I^{-1}=I e (-I)^{-1}=-I). Porém A+B = I + (-I) = 0,e a matriz zero não é invertível. Portanto A+B pode não ser invertível.
  • Conclusão: a asserção III é falsa.
Observação adicional (didática): às vezes A+B é invertível (por exemplo se B for suficientemente “pequena” em algum sentido), mas não há garantia geral — por isso o contraexemplo é suficiente para decidir a falsidade da afirmação universal.

Passo 5

Resumo e escolha final:
  • I é falsa (mostrei um contraexemplo com \det(A)=0).
  • II é verdadeira (provei transpondo A A^{-1}=I).
  • III é falsa (contraexemplo I+(-I)=0).
Portanto, apenas a asserção II é verdadeira.

Resposta

b)

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