Obtenha as retas tangentes a parábola de equação y=x^2, passando pelo ponto P=(0,-1)

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à parábola y = x^2 que passam pelo ponto P=(0,-1). O conteúdo aqui é geometria analítica, usando o coeficiente angular da reta e a condição de tangência (discriminante nulo) para que a reta intersecte a parábola em apenas um ponto.

Passo 2

Considere uma reta genérica com coeficiente angular m:
y = m x + b
Como ela deve passar por P=(0,-1), substituímos:
-1 = mcdot0 + b implies b = -1
Logo a reta fica
y = m x - 1

Passo 3

Para que essa reta seja tangente à parábola y = x^2, o sistema
x^2 = m x - 1
deve ter solução dupla. Escrevendo o polinômio associado,
x^2 - m x + 1 = 0,
a condição de tangência é De<a=0, onde
De<a = m^2 - 4cdot1cdot1 = m^2 - 4
Portanto
m^2 - 4 = 0 implies m^2 = 4 implies m = pm 2

Passo 4

Substituindo cada valor de m em y = m x - 1, obtemos as duas retas tangentes:
y = 2x - 1
e
y = -2x - 1

Resposta

y = 2x - 1
y = -2x - 1

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