Suponha que em determinada edificação a temperatura do meio seja de
e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo.
De acordo com a Lei de Newton do resfriamento/aquecimento, a variação da temperatura de um objeto (sala) ao longo do tempo (
) é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto (sala) e o meio em que ele está inserido (edificação). Escreva a equação diferencial que modela esse problema (variação da temperatura da sala).
De acordo com a Lei de Newton do resfriamento/aquecimento, a variação da temperatura de um objeto (sala) ao longo do tempo (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- A temperatura do meio (edificação) é constante e igual a
. - A variação temporal da temperatura da sala,
, é proporcional à diferença entre a temperatura da sala e a do meio. - Pergunta: escrever a equação diferencial que modela a variação da temperatura da sala.
Passo 2
Vamos definir claramente as variáveis e os dados:
- Seja
a temperatura da sala (em ) no instante (em minutos, horas ou outra unidade de tempo — a escolha da unidade não muda a forma da equação). - A temperatura do meio (ambiente) é a constante
. - A afirmação “a variação
é proporcional à diferença de temperatura entre o meio e a sala” significa que existe uma constante de proporcionalidade que liga essas duas quantidades.
Passo 3
Escrevendo a proporcionalidade em forma matemática:
- “Proporcional” quer dizer que
- Para transformar a proporcionalidade numa equação, introduzimos uma constante real
tal que
- Aqui
é a constante de proporcionalidade. Explicação do sinal e do valor de : - Normalmente escolhemos
. Assim, se (sala mais fria que o meio) então e : a sala aquece em direção ao meio. Se então : a sala esfria em direção ao meio. Isso faz sentido físico.
- Normalmente escolhemos
Passo 4
Substituindo o valor numérico do meio
na equação do Passo 3, obtemos a equação diferencial que modela o problema:
com
(constante que depende, por exemplo, das características de isolamento e das trocas térmicas).
Passo 5
Breve explicação adicional útil para a prova (como usar a equação): esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Uma forma equivalente, frequentemente vista, é
e a solução geral (caso precise resolver) é
onde
é uma constante determinada pela temperatura inicial
:
. Isso mostra que
tende exponencialmente para
quando
.