Suponha que em determinada edificação a temperatura do meio seja de 30^{\circ} \mathrm{C} e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo.
De acordo com a Lei de Newton do resfriamento/aquecimento, a variação da temperatura de um objeto (sala) ao longo do tempo ( d y / d t ) é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto (sala) e o meio em que ele está inserido (edificação). Escreva a equação diferencial que modela esse problema (variação da temperatura da sala).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • A temperatura do meio (edificação) é constante e igual a 30^\circ\mathrm{C}.
  • A variação temporal da temperatura da sala, dy/dt, é proporcional à diferença entre a temperatura da sala e a do meio.
  • Pergunta: escrever a equação diferencial que modela a variação da temperatura da sala.

Passo 2

Vamos definir claramente as variáveis e os dados:
  • Seja y(t) a temperatura da sala (em ^\circ\mathrm{C}) no instante t (em minutos, horas ou outra unidade de tempo — a escolha da unidade não muda a forma da equação).
  • A temperatura do meio (ambiente) é a constante T_a=30^\circ\mathrm{C}.
  • A afirmação “a variação dy/dt é proporcional à diferença de temperatura entre o meio e a sala” significa que existe uma constante de proporcionalidade que liga essas duas quantidades.

Passo 3

Escrevendo a proporcionalidade em forma matemática:
  • “Proporcional” quer dizer que
\frac{dy}{dt}\propto (T_a - y).
  • Para transformar a proporcionalidade numa equação, introduzimos uma constante real k tal que
\frac{dy}{dt}=k\,(T_a-y).
  • Aqui k é a constante de proporcionalidade. Explicação do sinal e do valor de k:
    • Normalmente escolhemos k>0. Assim, se y<T_a (sala mais fria que o meio) então T_a-y>0 e \frac{dy}{dt}>0: a sala aquece em direção ao meio. Se y>T_a então \frac{dy}{dt}<0: a sala esfria em direção ao meio. Isso faz sentido físico.

Passo 4

Substituindo o valor numérico do meio T_a=30^\circ\mathrm{C} na equação do Passo 3, obtemos a equação diferencial que modela o problema:
\frac{dy}{dt}=k\,(30-y),
com k>0 (constante que depende, por exemplo, das características de isolamento e das trocas térmicas).

Passo 5

Breve explicação adicional útil para a prova (como usar a equação): esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Uma forma equivalente, frequentemente vista, é
\frac{dy}{dt}=-k\,(y-30),
e a solução geral (caso precise resolver) é
y(t)=30 + C\,e^{-k t},
onde C é uma constante determinada pela temperatura inicial y(0): C=y(0)-30. Isso mostra que y(t) tende exponencialmente para 30^\circ\mathrm{C} quando t\to\infty.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt}=k\,(30-y),\quad k>0

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