1. Para a execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de \mathrm{R} \ 16.200,00 , que cada mulher recebeu\frac{3}{4} da quantia de um homem e que cada menor recebeu\frac{4}{5}$ da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada homem, cada mulher e cada menor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores.
  • O pagamento total foi de \text{R\$ }16.200,00.
  • Cada mulher recebeu \tfrac{3}{4} da quantia de um homem.
  • Cada menor recebeu \tfrac{4}{5} da quantia de cada mulher.
O enunciado pede: quanto recebeu cada homem, quanto recebeu cada mulher e quanto recebeu cada menor?

Passo 2

Vamos introduzir uma incógnita simples para organizar a conta. Seja x a quantia recebida por cada homem:
x = \text{quantia (em R\$) que cada homem recebeu.}
Explicar porque: ao expressar todas as quantias em função de x ficamos com uma única equação para achar x.

Passo 3

Expressar as quantias das mulheres e dos menores em função de x, usando as frações dadas.
  • Cada mulher recebe \tfrac{3}{4} da quantia de um homem, então a quantia por mulher é
\text{quantia por mulher} = \tfrac{3}{4}x.
  • Cada menor recebe \tfrac{4}{5} da quantia de cada mulher. Substituindo a quantia da mulher:
\text{quantia por menor} = \tfrac{4}{5}\Big(\tfrac{3}{4}x\Big).
Agora simplificamos a multiplicação de frações:
\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{3}{4}x = \tfrac{4\cdot 3}{5\cdot 4}x = \tfrac{3}{5}x.
Portanto
\text{quantia por menor} = \tfrac{3}{5}x.

Passo 4

Escrever o total pago em função de x, somando a contribuição de cada grupo (número de pessoas vezes a quantia por pessoa).
  • Contribuição dos homens: 12\cdot x = 12x.
  • Contribuição das mulheres: 20\cdot \tfrac{3}{4}x. Calcular passo a passo:
20\cdot \tfrac{3}{4}x = \Big(\tfrac{20}{4}\Big)\cdot 3x = 5\cdot 3x = 15x.
  • Contribuição dos menores: 30\cdot \tfrac{3}{5}x. Calcular passo a passo:
30\cdot \tfrac{3}{5}x = \Big(\tfrac{30}{5}\Big)\cdot 3x = 6\cdot 3x = 18x.
Somando todas:
\text{total} = 12x + 15x + 18x = 45x.

Passo 5

Usar a informação do total pago para montar a equação e resolver para x:
45x = \text{R\$ }16.200,00.
Resolver x. Primeiro simplificar dividindo numerador e denominador por 9:
45x = 16.200 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{16.200}{45} = \dfrac{16.200\div 9}{45\div 9} = \dfrac{1.800}{5}.
Agora dividir:
x = \dfrac{1.800}{5} = 360.
Logo cada homem recebeu \text{R\$ }360,00.

Passo 6

Calcular as quantias das mulheres e dos menores usando os fatores já obtidos:
  • Mulher: \tfrac{3}{4}x = \tfrac{3}{4}\cdot 360. Calcular passo a passo:
\tfrac{3}{4}\cdot 360 = \Big(\tfrac{360}{4}\Big)\cdot 3 = 90\cdot 3 = 270.
Portanto cada mulher recebeu \text{R\$ }270,00.
  • Menor: \tfrac{3}{5}x = \tfrac{3}{5}\cdot 360. Calcular passo a passo:
\tfrac{3}{5}\cdot 360 = \Big(\tfrac{360}{5}\Big)\cdot 3 = 72\cdot 3 = 216.
Portanto cada menor recebeu \text{R\$ }216,00.

Passo 7

Verificação rápida somando as contribuições:
12\cdot 360 = 4.320,\qquad 20\cdot 270 = 5.400,\qquad 30\cdot 216 = 6.480.
Somando: 4.320+5.400+6.480 = 16.200, que é exatamente o total dado. Está correto!

Resposta

\text{Homem: R\$ }360,00
\text{Mulher: R\$ }270,00
\text{Menor: R\$ }216,00

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