Executa as seguintes operações: (Valor 07 pontos)
Qual é a faixa de valores decimais que pode ser representada utilizando 10 bits para: Números binários sem sinal?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a faixa de valores decimais que pode ser representada utilizando 10 bits para números binários sem sinal?”
Informações dadas: o número de bits disponíveis é 10. A tarefa é encontrar o menor e o maior valor decimal que podem ser codificados com esses 10 bits no formato sem sinal (unsigned).

Passo 2

O que significa “números binários sem sinal”?
  • Em binário sem sinal, todos os bits representam o valor positivo (não há bit de sinal).
  • Cada bit tem um “peso” igual a uma potência de dois. O bit menos significativo (LSB) tem peso 2^{0}, o seguinte 2^{1}, e assim por diante até o bit mais significativo (MSB).
  • Com n bits, os pesos vão de 2^{0} até 2^{n-1}. Portanto, qualquer combinação de bits representa a soma de alguns desses pesos.

Passo 3

Fórmula geral para o valor máximo representável com n bits sem sinal:
\sum_{k=0}^{n-1} 2^{k} = 2^{n}-1.
Explicando a fórmula: a soma de todas as potências de dois desde 2^{0} até 2^{n-1} é uma série geométrica; ela resulta em 2^{n}-1. Assim o menor valor é sempre 0 (todos os bits zero) e o maior é 2^{n}-1 (todos os bits um).

Passo 4

Aplicando com n=10: primeiro calcular 2^{10}. Podemos listar potências de dois rapidamente:
2^{0}=1, 2^{1}=2, 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16, 2^{5}=32, 2^{6}=64, 2^{7}=128, 2^{8}=256, 2^{9}=512, 2^{10}=1024.

Passo 5

Usando a fórmula do Passo 3:
\sum_{k=0}^{9}2^{k}=2^{10}-1=1024-1=1023.
Portanto o maior valor representável com 10 bits sem sinal é 1023. O menor, como já dito, é 0.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Binário 0000000000 (dez zeros) corresponde a \,0.
  • Binário 1111111111 (dez uns) corresponde a \,2^{9}+2^{8}+\dots+2^{0}=1023.
    Também é útil lembrar que o número total de valores distintos representáveis é 2^{10}=1024 (os inteiros de 0 a 1023, inclusive).

Resposta

0 até 1023

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