EXECUTAR
8. Calcule a variação na energia interna para o trajeto do pacote descendo e subindo na rampa. Lembre-se de que o valor em que a energia interna aumenta é igual ao valor em que a energia mecânica total diminui.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular a variação da energia interna (ΔU) de um bloco que desce e depois sobe uma rampa, lembrando que toda vez que a energia mecânica total diminui, essa diferença vai parar como aumento de energia interna (atrito, calor, etc.). O conteúdo aqui é “Conservação de Energia com forças não-conservativas”:
  • Vamos usar que ΔE_mech + ΔU = 0 ⇔ ΔU = −ΔE_mech.
  • E_mech = Energia potencial gravitacional (U_g = mgh) + Energia cinética (K = ½mv²).

Passo 2

Calcular ΔE_mech na descida.
  1. Estado inicial (topo da rampa):
    – Velocidade v_i = 0 ⇒ K_i = 0
    – Altura h ⇒ U_i = mgh
  2. Estado final (base da rampa):
    – Velocidade v_f = v ⇒ K_f = ½ m v²
    – Altura zero ⇒ U_f = 0
    Logo:
ΔEmech^rm descida = (Kf + Uf) - (Ki + Ui) = l(tfrac12 m v^2 + 0r) - l(0 + mghr) = tfrac12 m v^2 - mgh

Passo 3

Converter isso em variação de energia interna na descida:
ΔUrm descida ;=; -,ΔEmech^rm descida ;=; -l(tfrac12 m v^2 - mghr) ;=; mgh ;-;tfrac12 m v^2

Passo 4

Calcular ΔE_mech na subida.
  1. Estado inicial (base da rampa):
    – Velocidade v_i = v ⇒ K_i = ½ m v²
    – Altura zero ⇒ U_i = 0
  2. Estado final (topo da subida, v_f = 0, altura h):
    – Velocidade v_f = 0 ⇒ K_f = 0
    – Altura h ⇒ U_f = mgh
    Logo:
ΔEmech^rm subida = (Kf + Uf) - (Ki + Ui) = l(0 + mghr) - l(tfrac12 m v^2 + 0r) = mgh - tfrac12 m v^2

Passo 5

Converter em variação de energia interna na subida:
ΔUrm subida ;=; -,ΔEmech^rm subida ;=; -l(mgh - tfrac12 m v^2r) ;=; tfrac12 m v^2 ;-; mgh

Resposta

ΔU na descida =
ΔU na subida =

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