Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
, para
, das funções fornecidas abaixo:
Passo 1
A função dada é f(x)=1/(1−x) e queremos encontrar os coeficientes da série de Maclaurin, definidos por a_n = f^{(n)}(0)/n!, para n=0,1,2,3,4,5. Na série de Maclaurin temos f(x)=Σ_{n=0}^∞ a_n x^n com a_n = f^{(n)}(0)/n!. Ou seja, basta calcular as derivadas de f, avaliá-las em x=0 e dividir por n!.
Passo 2
Calculamos as derivadas de f até quinta ordem. Temos:
Avaliamos cada derivada em x=0:
Passo 3
Finalmente, como a_n = f^{(n)}(0)/n!, para n=0,…,5 obtemos: