Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
an=f^(n)(0)n!, para n=0,1,2,3,4 e 5, das funções fornecidas abaixo:
f(x)=11-x

Passo 1

A função dada é f(x)=1/(1−x) e queremos encontrar os coeficientes da série de Maclaurin, definidos por a_n = f^{(n)}(0)/n!, para n=0,1,2,3,4,5. Na série de Maclaurin temos f(x)=Σ_{n=0}^∞ a_n x^n com a_n = f^{(n)}(0)/n!. Ou seja, basta calcular as derivadas de f, avaliá-las em x=0 e dividir por n!.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f até quinta ordem. Temos:
f(x) = (1 - x)^-1
f'(x) = 1 cdot (1 - x)^-2
f''(x) = 1 cdot 2 cdot (1 - x)^-3
f'''(x) = 1 cdot 2 cdot 3 cdot (1 - x)^-4
f^(4)(x) = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot (1 - x)^-5
f^(5)(x) = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot (1 - x)^-6
Avaliamos cada derivada em x=0:
f(0) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = 2!
f'''(0) = 3!
f^(4)(0) = 4!
f^(5)(0) = 5!

Passo 3

Finalmente, como a_n = f^{(n)}(0)/n!, para n=0,…,5 obtemos:
an = f^(n)(0)n! = 1

Resposta

a0 = a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 1

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