Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
an=f^(n)(0)n!, para n=0,1,2,3,4 e 5, das funções fornecidas abaixo:
f(x)=sen(pi x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar os coeficientes da série de Maclaurin para a função $ f(x) = \sin(\pi x) $ até o quinto termo. A série de Maclaurin é uma maneira de expressar uma função como uma soma de polinômios, e os coeficientes $ a_n $ são calculados usando as derivadas da função avaliadas em zero. Para isso, precisaremos calcular as derivadas da função $ f(x) $ até a quinta ordem e aplicar a fórmula $ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma expansão em série de potências de uma função em torno de $ x = 0 $:
x = 0
Onde cada coeficiente $ a_n $ é dado por:
f(x) = sumn=0^infty an x^n
Aqui, $ f^{(n)}(0) $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em zero, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Vamos começar calculando a função $ f(x) = \sin(\pi x) $ e suas derivadas até a quinta ordem.
  1. Função original (0ª derivada): f(x) = sin(pi x) Avaliando em zero: f(x) = sin(pi x)

Passo 4

  1. Primeira derivada: f'(x) = ddx sin(pi x) = pi cos(pi x) Avaliando em zero: f'(0) = pi cos(0) = pi

Passo 5

  1. Segunda derivada: f''(x) = ddx pi cos(pi x) = -pi^2 sin(pi x) Avaliando em zero: f''(0) = -pi^2 sin(0) = 0

Passo 6

  1. Terceira derivada:
    f'''(x) = ddx (-pi^2 sin(pi x)) = -pi^3 cos(pi x)
    Avaliando em zero:
    f'''(0) = -pi^3 cos(0) = -pi^3
  2. Quarta derivada:
    f''''(x) = ddx (-pi^3 cos(pi x)) = pi^4 sin(pi x)
    Avaliando em zero:
    f''''(0) = pi^4 sin(0) = 0
  3. Quinta derivada:
    f^(5)(x) = ddx (pi^4 sin(pi x)) = pi^5 cos(pi x)
    Avaliando em zero:
    f^(5)(0) = pi^5 cos(0) = pi^5

Resposta

Agora, aplicando a fórmula $ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $ para $ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $:
an = f^(n)(0)n!
Portanto, os coeficientes da série de Maclaurin para $ f(x) = \sin(\pi x) $ são:
n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

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