Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
, para
, das funções fornecidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar os coeficientes da série de Maclaurin para a função $ f(x) = \sin(\pi x) $ até o quinto termo. A série de Maclaurin é uma maneira de expressar uma função como uma soma de polinômios, e os coeficientes $ a_n $ são calculados usando as derivadas da função avaliadas em zero. Para isso, precisaremos calcular as derivadas da função $ f(x) $ até a quinta ordem e aplicar a fórmula $ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma expansão em série de potências de uma função em torno de $ x = 0 $:
Onde cada coeficiente $ a_n $ é dado por:
Aqui, $ f^{(n)}(0) $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em zero, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos começar calculando a função $ f(x) = \sin(\pi x) $ e suas derivadas até a quinta ordem.
- Função original (0ª derivada):
Avaliando em zero:
Passo 4
- Primeira derivada:
Avaliando em zero:
Passo 5
- Segunda derivada:
Avaliando em zero:
Passo 6
-
Terceira derivada:Avaliando em zero:
-
Quarta derivada:Avaliando em zero:
-
Quinta derivada:Avaliando em zero:
Resposta
Agora, aplicando a fórmula $ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $ para $ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $:
Portanto, os coeficientes da série de Maclaurin para $ f(x) = \sin(\pi x) $ são: