Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
, para
, das funções fornecidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre Séries de Maclaurin, que são usadas pra expressar funções como uma soma infinita de termos polinomiais. A gente precisa encontrar os coeficientes $ a_n $ para $ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ da função $ f(x) = e^{5x} $. Esses coeficientes são calculados usando a fórmula:
Então, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quinta ordem e avaliar elas em $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a 0ª derivada de $ f(x) = e^{5x} $, que é a própria função:
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
Então,
Passo 3
Agora, vamos para a 1ª derivada de $ f(x) = e^{5x} $:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então,
Passo 4
Vamos para a 2ª derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então,
Passo 5
Agora, a 3ª derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então,
Passo 6
Vamos para a 4ª derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então,
Passo 7
Por fim, a 5ª derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então,
Resposta
Os coeficientes $ a_n $ das séries de Maclaurin para $ f(x) = e^{5x} $ são: