Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
an=f^(n)(0)n!, para n=0,1,2,3,4 e 5, das funções fornecidas abaixo:
f(x)=e^5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é sobre Séries de Maclaurin, que são usadas pra expressar funções como uma soma infinita de termos polinomiais. A gente precisa encontrar os coeficientes $ a_n $ para $ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ da função $ f(x) = e^{5x} $. Esses coeficientes são calculados usando a fórmula:
an
Então, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quinta ordem e avaliar elas em $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a 0ª derivada de $ f(x) = e^{5x} $, que é a própria função:
f(x) = e^5x
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
f^(0)(x) = e^5x
Então,
x = 0

Passo 3

Agora, vamos para a 1ª derivada de $ f(x) = e^{5x} $:
f(x) = e^5x
Avaliando em $ x = 0 $:
f^(1)(x) = ddx e^5x = 5e^5x
Então,
x = 0

Passo 4

Vamos para a 2ª derivada:
f^(2)(x) = ddx f^(1)(x) = ddx (5e^5x) = 25e^5x
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Então,
f^(2)(0) = 25e^0 = 25

Passo 5

Agora, a 3ª derivada:
f^(3)(x) = ddx f^(2)(x) = ddx (25e^5x) = 125e^5x
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Então,
f^(3)(0) = 125e^0 = 125

Passo 6

Vamos para a 4ª derivada:
f^(4)(x) = ddx f^(3)(x) = ddx (125e^5x) = 625e^5x
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Então,
f^(4)(0) = 625e^0 = 625

Passo 7

Por fim, a 5ª derivada:
f^(5)(x) = ddx f^(4)(x) = ddx (625e^5x) = 3125e^5x
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Então,
f^(5)(0) = 3125e^0 = 3125

Resposta

Os coeficientes $ a_n $ das séries de Maclaurin para $ f(x) = e^{5x} $ são:
an

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