(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
lim x 1(ln x)^2 sen(1x-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe o limite limxto1(ln x)^2,senl(tfrac1x-1r). O conteúdo principal aqui é cálculo de limites de funções oscilantes multiplicadas por fatores que tendem a zero, usando o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Sabemos que conforme xto1 temos ln xto0, logo
(ln x)^2to0
Além disso, a função sen(1/(x-1)) oscila entre -1 e +1.

Passo 3

Usando o teorema do confronto, note que para x perto de 1 temos
-1<= senl(tfrac1x-1r)<=1
Como (ln x)^2>=0, multiplicando essa desigualdade por (ln x)^2 obtemos
-(ln x)^2<= (ln x)^2,senl(tfrac1x-1r)<=(ln x)^2

Passo 4

Mas já vimos que (ln x)^2to0 e também -(ln x)^2to0.
Pelo teorema do confronto, concluímos que o limite existe e é 0.

Resposta

0

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