Qual é o momento angular de um elétron 2 p no íon \mathrm{Be}^{+++}?
Escolha uma opção:
\sqrt{2} \cdot \hbar
2 \cdot \hbar
3 \cdot \hbar
◯ 0
\sqrt{6} \cdot \hbar

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é o momento angular de um elétron 2p no íon \mathrm{Be}^{+++}?” e fornece opções de respostas. Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
  • O elétron está em um orbital 2p, ou seja, o número quântico principal é n=2 e o orbital é do tipo p.
  • Do orbital p segue-se que o momento angular orbital quântico l é l=1 (ver Passo 2 onde isso é explicado).
  • O íon é \mathrm{Be}^{+++}. Dessa notação pode-se inferir que o átomo de berílio (número atômico Z=4) perdeu três elétrons, ficando com apenas um elétron — é um sistema hidrogenoide (isso será comentado adiante).
  • O enunciado pede o “momento angular” sem especificar spin ou momento total; portanto trataremos do momento angular orbital (padrão quando se diz "eletrón 2p").

Passo 2

O que significa "orbital 2p" em termos de números quânticos (explicação básica):
  • O número quântico principal indica a camada: n=2.
  • As letras s, p, d, f correspondem ao número quântico orbital l:
    • s \Rightarrow l=0
    • p \Rightarrow l=1
    • d \Rightarrow l=2
    • etc.
  • Como o enunciado diz 2p, concluímos que n=2 e l=1. O valor de m_l (projeção) não é necessário para a magnitude do momento angular.

Passo 3

Fórmula e conceito que vamos usar (aula curta sobre momento angular orbital quântico):
  • Na mecânica quântica o operador quadrático do momento angular orbital \hat{L}^2 tem autofunções com autovalores iguais a l(l+1)\hbar^2.
  • A magnitude do vetor momento angular orbital L (o valor esperado para |\mathbf{L}|) é, portanto, a raiz quadrada desse autovalor:
L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • l é o número quântico orbital (um inteiro não negativo).
    • \hbar é a constante de Planck reduzida.
    • L é a magnitude do momento angular orbital (não confundir com a projeção L_z).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso l=1 (cálculo passo a passo):
  • Substituindo l=1 em \sqrt{l(l+1)}\,\hbar:
L = \sqrt{1\cdot(1+1)}\,\hbar = \sqrt{1\cdot 2}\,\hbar = \sqrt{2}\,\hbar.
  • Portanto a magnitude do momento angular orbital do elétron no orbital 2p é \sqrt{2}\,\hbar.

Passo 5

Por que o fato de ser \mathrm{Be}^{+++} (íon com Z=4) não altera esse resultado:
  • A quantização do momento angular orbital (os valores l=0,1,2,\dots e os autovalores l(l+1)\hbar^2) vem da parte angular da equação de Schrödinger — isto é, depende apenas da matemática da esfera e não da forma do potencial radial.
  • Mudanças no potencial (como passar de H a um íon hidrogenoide com carga nuclear diferente) alteram as energias e as funções radiais, mas não os valores permitidos de l. Assim o valor de L continua sendo \sqrt{2}\,\hbar.

Passo 6

Observação sobre spin e momento total (para evitar confusão):
  • O elétron também tem spin, cujo módulo é \displaystyle S=\sqrt{s(s+1)}\,\hbar=\sqrt{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}}\,\hbar=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\hbar, mas isso é independente do momento angular orbital e não foi pedido.
  • O momento angular total \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S} pode ter valores |\mathbf{J}|=\sqrt{j(j+1)}\hbar com j=l\pm s, mas o enunciado, ao indicar "elétron 2p", normalmente solicita o momento angular orbital — que é o que calculamos.

Resposta

\sqrt{2}\cdot\hbar

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