A trava de segurança de um equipamento industrial deve ser trocada com frequência de modo a evitar a quebra devido ao fim de sua vida útil. Estudos realizados mostram que essa vida útil pode ser representada por uma v. a. continua X assumindo valores entre 0 e 1 ano. Sua função densidade de probabilidade é dada por :
\n f(x)=(3 / 2)(1-x^2) ; 0 <= x <= 1 e 0 caso contrário Determine: á
A probabilidade da vida útil ser inferior a 6 meses.

Passo 1

Beleza, o exercício tá assim: a vida útil de uma peça segue uma variável contínua X no intervalo [0,1] ano, com densidade
f(x)=32l(1 - x^2r), 0<= x<=1
A gente quer a probabilidade de X ser menor que 6 meses (0,5 ano).
Conteúdo: distribuição contínua, PDF e integral para achar probabilidade.
O que vamos precisar: a fórmula básica
P(a<= X<= b)=integrala^b f(x),dx,
saber integrar funções polinomiais e fazer contas direitinho.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a probabilidade pedida:
P(X<0,5)=integral0^0,5 32l(1 - x^2r),dx
Aqui usamos que, pra variável contínua, a probabilidade até um ponto é a área sob a curva da PDF entre 0 e esse ponto.

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo.
  1. Fator constante pra fora:
integral0^0,5 32(1 - x^2),dx = 32integral0^0,5 l(1 - x^2r),dx
  1. Separar em duas integrais:
integral0^0,5 (1 - x^2),dx = integral0^0,51,dx ;-; integral0^0,5x^2,dx
  1. Integrar cada parte:
  • 0,5 - 124 = 1224 - 124 = 1124
  • 32times 1124 = 3cdot112cdot24 = 3348 = 1116
  1. Subtrair:
  1. Multiplicar pelo :

Resposta

P(X<0,5) = 1116 approx 0,6875

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