Um executivo de um banco está desconfiado de que as duas populações de clientes possuem gastos mensais médios com cartão de crédito diferentes, sendo que os clientes da agência central gastam mais que os clientes da agência periférica. O executivo não conhece as distribuições de gastos mensais com cartão de crédito dos clientes das duas agências, mas ele tem boas razões para assumir que elas são aproximadamente normais com desvios padrões idênticos e iguais a R. O executivo toma duas amostras aleatórias de 15 clientes, uma de cada população, e calcula as médias mensais de gastos com cartão de crédito para as duas amostras, obtendo: O executivo toma duas amostras a<=atórias de 15 clientes, uma de cada população, e calcula as médias mensais de gastos com cartão de crédito para as duas amostras, obtendo: reais e reais e reais.
Qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias de gastos mensais com cartão de crédito das duas populações esteja entre reais Qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias de gastos mensais com cartão de crédito das duas populações esteja entre e 100,00 ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: o banco pegou duas amostras de 15 clientes cada (agência central e agência periférica), ambas com desvio padrão conhecido de σ = R$ 450,00. O executivo quer saber a probabilidade de que a diferença entre as médias amostrais de gastos (ou seja, 450,00 O executivo quer saber a probabilidade de que a diferença entre as médias amostrais de gastos (ou seja, (bar X1 - bar X2)) caia entre R) caia entre R$ 100,00 e R$ 125,00, considerando que a verdadeira diferença média entre populações é R$ 130,00 (isto é, estamos supondo 125,00, considerando que a verdadeira diferença média entre populações é R).
Conteúdo da matéria: distribuição amostral da diferença de médias de populações normais com σ conhecido.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da variância (e desvio-padrão) de .
  • Propriedade de soma de normais: essa diferença é normal.
  • Como padronizar e usar a tabela (ou função) da normal padrão.

Passo 2

Teoria: quando D = bar X1 - bar X2 e E(D)=mu1-mu2, Var(D)=sigma^2n + sigma^2n =;2,sigma^2n são amostras independentes de tamanho sigmaD = raiz2,sigma^2n = sigma raiz2n de populações normais com desvio padrão conhecido, a diferença das médias amostrais
segue distribuição normal, com
Logo o desvio-padrão de é

Passo 3

Substituindo sigmaD =450raiz215 =450raiz0,1333 approx450 times 0,3651 approx 164,29 e :

Passo 4

Queremos
Pl(100 <= D <= 125r),
sabendo que Z1 = 100 - 130164,29 approx -30164,29 approx -0,183, Z2 = 125 - 130164,29 approx -5164,29 approx -0,0304 . Vamos padronizar cada limite:
P(100 <= D <= 125) = Pl(Z1 <= Z <= Z2r) = Phi(-0,0304) - Phi(-0,183),
Então
onde é a função distribuição da normal padrão.

Passo 5

Consultando tabela ou calculadora:
P(100 <= D <=125) approx 0,4879 - 0,4275 = 0,0604 e
.
Logo

Resposta

A probabilidade de a diferença entre as médias amostrais ficar entre R$ 100 e R$ 125, assumindo 100 e R, é aproximadamente 0,0604 (ou 6,04%).

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