EXEMPL0 2 Resolva 3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
3\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Não foram fornecidas condições iniciais; portanto queremos a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Método: tentar uma solução do tipo exponencial. Este é um método padrão para equações lineares com coeficientes constantes porque derivadas de exponenciais geram novamente exponenciais, o que simplifica a equação.
Suponha uma solução da forma y=e^{rx}. Então
\frac{dy}{dx}=r e^{rx},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{rx}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação diferencial, obtemos
3(r^{2}e^{rx}) + (r e^{rx}) - (e^{rx}) = 0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), fica a equação algébrica
3r^{2}+r-1=0.
Esta é a equação característica associada à equação diferencial.

Passo 4

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Aqui a=3, b=1, c=-1. A fórmula diz
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1-4\cdot 3\cdot(-1)=1+12=13.
Portanto as raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}.

Passo 5

Como as duas raízes são reais e distintas, r_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6} e r_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}, as duas soluções independentes da equação são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}. A solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é a combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Para intuição numérica, \sqrt{13}\approx 3{,}60555, então
r_{1}\approx 0{,}43426,\qquad r_{2}\approx -0{,}76759,
e a solução geral aproximada é
y(x)\approx C_{1}e^{0{,}43426x}+C_{2}e^{-0{,}76759x}.

Resposta

y(x)=C_{1}\exp\!\left(\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}\,x\right)+C_{2}\exp\!\left(\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}\,x\right)

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