EXEMPL0 2 Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Não foram fornecidas condições iniciais; portanto queremos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Método: tentar uma solução do tipo exponencial. Este é um método padrão para equações lineares com coeficientes constantes porque derivadas de exponenciais geram novamente exponenciais, o que simplifica a equação.
Suponha uma solução da forma
. Então
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação diferencial, obtemos
Fatorando
(que nunca é zero), fica a equação algébrica
Esta é a equação característica associada à equação diferencial.
Passo 4
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Aqui
,
,
. A fórmula diz
Calcule o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 5
Como as duas raízes são reais e distintas,
e
, as duas soluções independentes da equação são
e
. A solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é a combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Para intuição numérica,
, então
e a solução geral aproximada é