EXEMPLO 3 Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
.
O que se busca: encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método dos coeficientes indeterminados. Por que esse método?
- Quando o termo não-homogêneo é combinação finita de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno (ou produto simples entre eles), podemos supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes substituindo na equação.
- Antes de assumir a forma, verifico se há ressonância: isto é, se
ou (raízes ligadas a e ) são raízes do polinômio característico da parte homogênea. Se fossem, teríamos que multiplicar a tentativa por . Vou checar isso depois de achar o polinômio característico.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Formo o polinômio característico substituindo
:
Resolvendo essa quadrática (fatorando),
portanto as raízes são
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Verificação de ressonância e escolha da forma de
:
- O termo não-homogêneo é
. As funções associadas são e , correspondendo a expoentes imaginários . - Avalio o polinômio característico em
:
logo
(nem
) não é raiz do polinômio característico. Não há ressonância.
- Portanto faço a tentativa padrão
com
e
constantes a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
:
Passo 6
Substituir
,
e
na equação
:
Agrupando termos de
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Logo
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes obtém-se o sistema:
Passo 7
Resolver o sistema para
e
.
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Portanto
E
Passo 8
Escrever a solução particular encontrada:
Passo 9
Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral:
onde
e
são constantes arbitrárias (reais).