EXEMPLO 3 Resolva y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=\operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y''+y'-2y=\sin x.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \sin x.
    O que se busca: encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método dos coeficientes indeterminados. Por que esse método?
  • Quando o termo não-homogêneo é combinação finita de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno (ou produto simples entre eles), podemos supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes substituindo na equação.
  • Antes de assumir a forma, verifico se há ressonância: isto é, se i ou -i (raízes ligadas a \sin x e \cos x) são raízes do polinômio característico da parte homogênea. Se fossem, teríamos que multiplicar a tentativa por x. Vou checar isso depois de achar o polinômio característico.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''+y'-2y=0.
Formo o polinômio característico substituindo y=e^{rx}:
r^2 + r - 2 = 0.
Resolvendo essa quadrática (fatorando),
r^2 + r - 2 = (r-1)(r+2)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=-2. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Verificação de ressonância e escolha da forma de y_p:
  • O termo não-homogêneo é \sin x. As funções associadas são \sin x e \cos x, correspondendo a expoentes imaginários r=\pm i.
  • Avalio o polinômio característico em r=i:
(i)^2 + i - 2 = -1 + i - 2 = -3 + i \neq 0,
logo i (nem -i) não é raiz do polinômio característico. Não há ressonância.
  • Portanto faço a tentativa padrão
y_p(x)=A\cos x + B\sin x,
com A e B constantes a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p:
y_p'(x) = -A\sin x + B\cos x,
y_p''(x) = -A\cos x - B\sin x.

Passo 6

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação y''+y'-2y=\sin x:
y_p'' + y_p' - 2y_p = (-A\cos x - B\sin x) + (-A\sin x + B\cos x) -2(A\cos x + B\sin x).
Agrupando termos de \cos x e \sin x:
  • Coeficiente de \cos x:
(-A) + B - 2A = -3A + B.
  • Coeficiente de \sin x:
(-B) + (-A) - 2B = -A - 3B.
Logo
y_p'' + y_p' - 2y_p = (-3A + B)\cos x + (-A - 3B)\sin x.
Isso deve ser igual a \sin x = 0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x. Igualando coeficientes obtém-se o sistema:
\begin{cases} -3A + B = 0,\\[4pt] - A - 3B = 1. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A e B.
Da primeira equação B=3A. Substituindo na segunda:
- A - 3(3A) = 1 \quad\Rightarrow\quad -A - 9A = 1 \quad\Rightarrow\quad -10A = 1.
Portanto
A = -\dfrac{1}{10}.
E
B = 3A = -\dfrac{3}{10}.

Passo 8

Escrever a solução particular encontrada:
y_p(x)=A\cos x + B\sin x = -\dfrac{1}{10}\cos x - \dfrac{3}{10}\sin x.

Passo 9

Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-2x}-\dfrac{1}{10}\cos x-\dfrac{3}{10}\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (reais).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{10}\cos x-\dfrac{3}{10}\sin x

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