EXEMPLO 6 Determine as derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado pede que se determine as derivadas parciais da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa é calcular
e .
Passo 2
O que significa derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede como varia quando só mudamos e mantemos fixo. - A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede como varia quando só mudamos e mantemos fixo.
Exemplo rápido e intuitivo: paratemos (pois tratamos como constante) e .
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de modo prático):
- Regra do poder (power rule): para uma variável única,
. Aqui é um número e a variável. Quando fazemos derivada parcial em , aplicamos essa regra a potências de , tratando fatores que dependem só de como constantes. - Constante multiplicativa: se
é constante (pode ser função de quando derivamos em ), então . No contexto de derivadas parciais, se derivamos em , qualquer fator que dependa só de é tratado como constante. - Análogo para derivada parcial em
: trate como constante.
Passo 4
Calcular
termo a termo:
- Para o termo
: ao derivar em aplicamos a regra do poder:
- Para o termo
: aqui é tratado como constante quando derivamos em . Assim usamos a constante multiplicativa:
- Para o termo
: este termo não depende de , então a derivada parcial em é zero:
Somando as contribuições:
Passo 5
Calcular
termo a termo:
- Para o termo
: não depende de , logo
- Para o termo
: aqui é tratado como constante; derivando por usando a regra do poder:
- Para o termo
: aplicar a regra do poder e a constante:
Somando as contribuições:
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (estilo “cola mental”):
- Separe a função em termos e derive termo a termo.
- Ao derivar em
: trate tudo que depende só de como constante; ao derivar em : trate tudo que depende só de como constante. - Use a regra do poder e a regra da constante multiplicativa — isso resolve a maioria dos exercícios básicos de derivadas parciais.