EXEMPLO 6 Determine as derivadas parciais de
f(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se determine as derivadas parciais da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}.
  • A tarefa é calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que significa derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só mudamos x e mantemos y fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, escrita \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede como f varia quando só mudamos y e mantemos x fixo.
    Exemplo rápido e intuitivo: para g(x,y)=xy temos \dfrac{\partial g}{\partial x}=y (pois tratamos y como constante) e \dfrac{\partial g}{\partial y}=x.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de modo prático):
  • Regra do poder (power rule): para uma variável única, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. Aqui n é um número e x a variável. Quando fazemos derivada parcial em x, aplicamos essa regra a potências de x, tratando fatores que dependem só de y como constantes.
  • Constante multiplicativa: se c é constante (pode ser função de y quando derivamos em x), então \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot h(x)\bigr)=c\cdot h'(x). No contexto de derivadas parciais, se derivamos em x, qualquer fator que dependa só de y é tratado como constante.
  • Análogo para derivada parcial em y: trate x como constante.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} termo a termo:
  • Para o termo \,x^{3}: ao derivar em x aplicamos a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Para o termo \,x^{2}y^{3}: aqui y^{3} é tratado como constante quando derivamos em x. Assim usamos a constante multiplicativa:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=y^{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=y^{3}\cdot 2x=2x y^{3}.
  • Para o termo -2y^{2}: este termo não depende de x, então a derivada parcial em x é zero:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2y^{2}\bigr)=0.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2x y^{3}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} termo a termo:
  • Para o termo \,x^{3}: não depende de y, logo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)=0.
  • Para o termo \,x^{2}y^{3}: aqui x^{2} é tratado como constante; derivando y^{3} por y usando a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Para o termo -2y^{2}: aplicar a regra do poder e a constante:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y^{2}\bigr)=-2\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\bigr)=-2\cdot 2y=-4y.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (estilo “cola mental”):
  • Separe a função em termos e derive termo a termo.
  • Ao derivar em x: trate tudo que depende só de y como constante; ao derivar em y: trate tudo que depende só de x como constante.
  • Use a regra do poder e a regra da constante multiplicativa — isso resolve a maioria dos exercícios básicos de derivadas parciais.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2x y^{3}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}-4y

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