A ideia básica por trás dos campos de direções pode ser usada para encontrar aproximações numéricas para as soluções das equações diferenciais. Ilustramos o método no problema de valor inicial que utilizamos para introduzir os campos de direções:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que o problema pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
- A derivada de
em qualquer ponto é dada por . - A solução deve passar pelo ponto
, isto é, deve satisfazer .
Passo 2
Entendendo a ideia de campos de direções (explicação didática):
- Um campo de direções é uma forma gráfica de ver para cada ponto
qual é a inclinação (o “slope”) da solução ali. No nosso caso, a inclinação é dada por . - Para qualquer ponto
do plano, a reta tangente sugerida pelo campo terá inclinação . Por exemplo: - No ponto
a inclinação é . - No ponto
a inclinação é . - No ponto
a inclinação é .
- No ponto
- Esse campo de direções serve para traçar, de forma aproximada, como curvas solução passam pelo plano: ao seguir pequenas setinhas locais (as tangentes), vai-se construindo uma aproximação da curva solução que satisfaz a condição inicial.
- Para obter uma solução exata é preferível resolver a equação analiticamente; o campo de direções é ótimo para visualizar e para métodos numéricos simples (por exemplo, o método de Euler), que usam exatamente as inclinações dadas por
.
Passo 3
Escolhendo um método analítico: a equação é de primeira ordem linear na forma padrão. Reescrevemos como
Explicando o método (integração por fator integrante):
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. Aqui e . - O fator integrante
é definido por . Ele serve para transformar o lado esquerdo em uma derivada de produto. - Calculando o fator integrante:
- Multiplicamos a equação original por
:
- O lado esquerdo é agora a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação vira
Passo 4
Integrando e encontrando a solução geral:
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- O lado esquerdo integra simplesmente para
. Precisamos calcular a integral do lado direito. Fazemos por partes (explico a técnica): - Regra de integração por partes:
. - Escolhemos
e . Então e . - Aplicando:
- Regra de integração por partes:
- Assim obtemos
- Multiplicando por
para isolar :
Essa é a solução geral da equação diferencial, com
constante arbitrária.
Passo 5
Aplicando a condição inicial para determinar
:
- A condição é
. Substituindo na solução geral:
- Daí
. - Logo a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial é
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Calculamos a derivada de
:
- Calculamos
substituindo :
- Observa-se que
, portanto a solução satisfaz a equação. A condição inicial já foi usada; logo está tudo consistente.
Passo 7
Como usar o campo de direções para aproximar numericamente (método de Euler, com exemplo prático):
- O método de Euler usa exatamente a inclinação dada pelo campo para avançar em pequenos passos. A fórmula do passo é
onde
é a função do lado direito,
é o tamanho do passo e
é o ponto atual.
- Demonstração em números (tomando
e iniciando em , ): - Passo de
para : , então
O valor exato é (portanto erro ).
2. Para: , então O valor exato é (erro ).
3. Para: , então O valor exato é (erro ).
4. Para: , então O valor exato é (erro ).
5. Para: , então O valor exato é (erro ). - Passo de
- Comentários sobre o método:
- Euler é simples e ilustra bem o uso do campo de direções, mas o erro cresce com
. Para maior precisão usar passos menores ou métodos melhores (por exemplo, método de Euler melhorado/Heun ou Runge–Kutta de ordem 4). - Na prova, se pedirem aproximar, explique claramente o valor de
, calcule as inclinações e aplique a fórmula do passo.
- Euler é simples e ilustra bem o uso do campo de direções, mas o erro cresce com