A ideia básica por trás dos campos de direções pode ser usada para encontrar aproximações numéricas para as soluções das equações diferenciais. Ilustramos o método no problema de valor inicial que utilizamos para introduzir os campos de direções:
y^{\prime}=x+y \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = x + y,\qquad y(0)=1.
O que o problema pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
  • A derivada de y em qualquer ponto (x,y) é dada por y'=x+y.
  • A solução deve passar pelo ponto (0,1), isto é, deve satisfazer y(0)=1.

Passo 2

Entendendo a ideia de campos de direções (explicação didática):
  • Um campo de direções é uma forma gráfica de ver para cada ponto (x,y) qual é a inclinação (o “slope”) da solução ali. No nosso caso, a inclinação é dada por f(x,y)=x+y.
  • Para qualquer ponto (x,y) do plano, a reta tangente sugerida pelo campo terá inclinação \,x+y. Por exemplo:
    • No ponto (0,1) a inclinação é 0+1=1.
    • No ponto (1,0) a inclinação é 1+0=1.
    • No ponto (-1,0) a inclinação é -1+0=-1.
  • Esse campo de direções serve para traçar, de forma aproximada, como curvas solução passam pelo plano: ao seguir pequenas setinhas locais (as tangentes), vai-se construindo uma aproximação da curva solução que satisfaz a condição inicial.
  • Para obter uma solução exata é preferível resolver a equação analiticamente; o campo de direções é ótimo para visualizar e para métodos numéricos simples (por exemplo, o método de Euler), que usam exatamente as inclinações dadas por f(x,y).

Passo 3

Escolhendo um método analítico: a equação é de primeira ordem linear na forma padrão. Reescrevemos como
y' - y = x.
Explicando o método (integração por fator integrante):
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma y' + p(x) y = q(x). Aqui p(x)=-1 e q(x)=x.
  • O fator integrante \mu(x) é definido por \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Ele serve para transformar o lado esquerdo em uma derivada de produto.
  • Calculando o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
  • Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-x}y' - e^{-x}y = x e^{-x}.
  • O lado esquerdo é agora a derivada do produto e^{-x}y. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}y' - e^{-x}y.
Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=x e^{-x}.

Passo 4

Integrando e encontrando a solução geral:
  • Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)\,dx = \int x e^{-x}\,dx.
  • O lado esquerdo integra simplesmente para e^{-x}y. Precisamos calcular a integral do lado direito. Fazemos por partes (explico a técnica):
    • Regra de integração por partes: \int u\,dv = u v - \int v\,du.
    • Escolhemos u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}.
    • Aplicando:
\int x e^{-x}\,dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
  • Assim obtemos
e^{-x}y = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
  • Multiplicando por e^{x} para isolar y:
y = -x - 1 + C e^{x}.
Essa é a solução geral da equação diferencial, com C constante arbitrária.

Passo 5

Aplicando a condição inicial para determinar C:
  • A condição é y(0)=1. Substituindo x=0 na solução geral:
1 = y(0) = -0 - 1 + C e^{0} = -1 + C\cdot 1 = -1 + C.
  • Daí C = 1 + 1 = 2.
  • Logo a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial é
y(x) = 2 e^{x} - x - 1.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Calculamos a derivada de y:
y'(x) = 2 e^{x} - 1.
  • Calculamos x+y substituindo y:
x + y = x + \bigl(2 e^{x} - x - 1\bigr) = 2 e^{x} - 1.
  • Observa-se que y'(x)=x+y, portanto a solução satisfaz a equação. A condição inicial já foi usada; logo está tudo consistente.

Passo 7

Como usar o campo de direções para aproximar numericamente (método de Euler, com exemplo prático):
  • O método de Euler usa exatamente a inclinação dada pelo campo para avançar em pequenos passos. A fórmula do passo é
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=x+y é a função do lado direito, h é o tamanho do passo e (x_n,y_n) é o ponto atual.
  • Demonstração em números (tomando h=0,1 e iniciando em x_0=0, y_0=1):
    1. Passo de x_0=0 para x_1=0,1: f(0,1)=0+1=1, então
    y_1 \approx 1 + 0,1\cdot 1 = 1,1.O valor exato é y(0,1)=2 e^{0,1} - 0,1 - 1 \approx 1,110341836 (portanto erro \approx -0,01034).
    2. Para x_2=0,2: f(0,1,\,1,1)=0,1+1,1=1,2, então y_2 \approx 1,1 + 0,1\cdot 1,2 = 1,22.O valor exato é y(0,2)=2 e^{0,2} - 0,2 - 1 \approx 1,242805516 (erro \approx -0,02281).
    3. Para x_3=0,3: f(0,2,\,1,22)=0,2+1,22=1,42, então y_3 \approx 1,22 + 0,1\cdot 1,42 = 1,362.O valor exato é y(0,3)\approx 1,399717616 (erro \approx -0,03772).
    4. Para x_4=0,4: f(0,3,\,1,362)=0,3+1,362=1,662, então y_4 \approx 1,362 + 0,1\cdot 1,662 = 1,5282.O valor exato é y(0,4)\approx 1,583649396 (erro \approx -0,05545).
    5. Para x_5=0,5: f(0,4,\,1,5282)=0,4+1,5282=1,9282, então y_5 \approx 1,5282 + 0,1\cdot 1,9282 = 1,72102.O valor exato é y(0,5)\approx 1,797442542 (erro \approx -0,07642).
  • Comentários sobre o método:
    • Euler é simples e ilustra bem o uso do campo de direções, mas o erro cresce com h. Para maior precisão usar passos menores ou métodos melhores (por exemplo, método de Euler melhorado/Heun ou Runge–Kutta de ordem 4).
    • Na prova, se pedirem aproximar, explique claramente o valor de h, calcule as inclinações f(x_n,y_n) e aplique a fórmula do passo.

Resposta

y(x)=2e^{x}-x-1

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