Exemplifique, se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível, justifique.
Uma aplicação linear T: V W, tal que Im(T)=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de aplicação linear T:Vto W cuja imagem seja exatamente 0. O tema aqui é transformação linear e imagem (ou posto) de uma aplicação.

Passo 2

Definimos T como a aplicação nula, isto é, para todo vin V temos
T(v)=0W,
onde 0W é o vetor zero em W. Vamos verificar que T é linear e que Im(T)=0W.

Passo 3

Para linearidade, tomemos v1,v2in V e lambdainK. Então
T(v1+v2)=0W=0W+0W=T(v1)+T(v2),
T(lambda v1)=0W=lambda,0W=lambda,T(v1)
Logo T satisfaz as duas propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 4

A imagem de T é
Im(T)=,T(v)mid vin V=,0W,
pois T só produz o vetor zero em W.

Resposta

Um exemplo é a aplicação nula
T:Vto W, T(v)=0Wforall,vin V,
cuja imagem é 0W.

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