Exemplifique, se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível, justifique.
T: R^3 R^3 linear, tal que N(T)=(x, y, z) in R^3 ; z+y=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
;T:R^3toR^3, cujo núcleo é
N(T)=(x,y,z)inR^3;;y+z=0
Como esse núcleo é um plano de dimensão 2, pelo Teorema do Posto-Nulidade teremos posto 1. Ou seja, a imagem de T será uma reta em R^3. Para construir T basta definir um funcional linear cujo zero seja y+z=0 e escolher um vetor não nulo de destino.

Passo 2

Definimos o funcional
f(x,y,z)=y+z,
que anula exatamente quando y+z=0. Escolhemos um vetor não nulo em R^3, por exemplo
v0=(1,0,0)
Então definimos
T(x,y,z)=f(x,y,z),v0=(y+z,0,0)
É claro que T é linear, pois é produto de funcional linear por vetor fixo.

Passo 3

Vamos checar o núcleo:
T(x,y,z)=(y+z,0,0)=(0,0,0) Long<=ftrightarrow y+z=0
Logo
N(T)=(x,y,z);;y+z=0, como desejado.

Resposta

Um exemplo é
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(y+z,0,0)

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