Seja T: V V uma transformação linear. Sabendo-se que dim(V)=5 e dim(N(T) cap Im(T))=2, determine dim(N(T)+Im(T)). A transformação T pode ser injetora? Justifique as respostas.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear T:Vto V num espaço de dimensão dim V=5. Sabemos ainda que
diml(N(T)capIm(T)r)=2.
O que precisamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
dimN(T)+dimIm(T)=dim V=5
Usando a fórmula da dimensão da soma,
diml(N(T)+Im(T)r) &=dimN(T)+dimIm(T) -diml(N(T)capIm(T)r) &=5-2=3

Passo 3

Para que T fosse injetora, teríamos N(T)=0 e, então, dimN(T)=0.
Mas isso implicaria
diml(N(T)capIm(T)r)=0,
em contradição com o dado dim(N(T)capIm(T))=2.
Logo, T não pode ser injetora.

Resposta

diml(N(T)+Im(T)r)=3.
T não pode ser injetora.

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