Seja
uma transformação linear. Sabendo-se que
e
, determine
. A transformação T pode ser injetora? Justifique as respostas.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
num espaço de dimensão
. Sabemos ainda que
.
O que precisamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
O que precisamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
Usando a fórmula da dimensão da soma,
Passo 3
Para que
fosse injetora, teríamos
e, então,
.
Mas isso implicaria
Mas isso implicaria
em contradição com o dado
.
Logo, não pode ser injetora.
Logo,