Exemplifique, se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível, justifique.
Uma aplicação linear sobrejetora T: R^2 R^3.
Não é possível, pois para uma transformação linear ser sobrejetora, a dimensão do domínio deve ser maior ou igual à dimensão do contradomínio. Neste caso, a dimensão do domínio é 2 e a do contradomínio é 3, o que impossibilita a existência de uma transformação linear sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede para exemplificar ou justificar a existência de uma aplicação linear sobrejetora
;Tcolon R^2toR^3. O conteúdo usado será o Teorema do Posto e a condição necessária para que um mapa linear seja sobrejetor.

Passo 2

Recordando que uma aplicação linear Tcolon Vto W é sobrejetora se e somente se
Im(T)=W,
ou seja,
dim(Im(T))=dim(W)
O Teorema do Posto e da Nulidade garante também que
dim(Im(T))<= dim(V)

Passo 3

No caso em que V=R^2 e W=R^3 temos
dim(V)=2 e dim(W)=3
Para que T fosse sobrejetora precisaríamos de
dim(Im(T))=dim(W)=3,
porém sempre vale
dim(Im(T))<= dim(V)=2<3,
logo não é possível atingir imagem de dimensão 3.

Resposta

Não existe aplicação linear sobrejetora Tcolon R^2toR^3.

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