Considere os subespaços de R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3 ; x=y, W2=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z e W3=(x, y, z) in R^3 ; x=y-z
I. Determine:
a) W1 cap W2.
b) W1 cap W3.
II. Verifique que:
a) W1 cup W2 é subespaço de R^3.
b) W1 cup W3 não é subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado dá três subespaços de R^3:
W1=(x,y,z):x=y, W2=(x,y,z):x=y=z, W3=(x,y,z):x=y-z
Pede-se em I as interseções W1cap W2 e W1cap W3, e em II verificar se as uniões W1cup W2 e W1cup W3 são subespaços. Vamos usar que a interseção de subespaços é sempre subespaço, e que a união de subespaços só é subespaço se um estiver contido no outro (ou verificar diretamente a falta de fechamento).

Passo 2

Para W1cap W2 impomos simultaneamente x=y e x=y=z. A segunda já implica a primeira, e diz x=y=z. Logo
W1cap W2=(t,t,t)mid tin R

Passo 3

Para W1cap W3 impomos x=y e x=y-z. Substituindo x=y em x=y-z
y=y-zimplies z=0,
e então x=y livre. Assim
W1cap W3=(t,t,0)mid tin R

Passo 4

Em relação a W1cup W2, como todo vetor de W2 satisfaz x=y=z e portanto x=y, temos W2subseteq W1. Daí
W1cup W2 = W1,
que é subespaço de R^3.

Passo 5

Para W1cup W3 exibimos contra-exemplo ao fechamento: seja
,u=(1,1,1)in W1setminus W3 e
,v=(1,2,1)in W3setminus W1. Então
u+v=(2,3,2)
não satisfaz nem x=y nem x=y-z, logo
u+vnotin W1cup W3
e W1cup W3 não é subespaço.

Resposta

I.
a) W1cap W2=(t,t,t)mid tin R
b) W1cap W3=(t,t,0)mid tin R
II.
a) W1cup W2=W1, logo é subespaço de R^3.
b) W1cup W3 não é subespaço de R^3.

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