Considere os subespaços de
:
e
I. Determine:
a)
.
b)
.
II. Verifique que:
a)
é subespaço de
.
b)
não é subespaço de
.
I. Determine:
a)
b)
II. Verifique que:
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá três subespaços de
:
Pede-se em I as interseções
e
, e em II verificar se as uniões
e
são subespaços. Vamos usar que a interseção de subespaços é sempre subespaço, e que a união de subespaços só é subespaço se um estiver contido no outro (ou verificar diretamente a falta de fechamento).
Passo 2
Para
impomos simultaneamente
e
. A segunda já implica a primeira, e diz
. Logo
Passo 3
Para
impomos
e
. Substituindo
em
dá
e então
livre. Assim
Passo 4
Em relação a
, como todo vetor de
satisfaz
e portanto
, temos
. Daí
que é subespaço de
.
Passo 5
Para
exibimos contra-exemplo ao fechamento: seja
e
. Então
não satisfaz nem
nem
, logo
e
não é subespaço.
Resposta
I.
a)
b)
a)
b)
II.
a) , logo é subespaço de
.
b) não é subespaço de
.
a)
b)