Verifique, em cada caso, se a transformação T é linear:
T: R^2 R^3, T(x, y)=(x+y, x, 0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (x+y,;x,;0)
é linear. Para isso, precisamos checar as propriedades de aditividade e homogeneidade escalar.

Passo 2

Verificação de aditividade. Sejam (x1,y1),(x2,y2)inR^2. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(x1+x2+y1+y2,;x1+x2,;0r)
Por outro lado,
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (x1+y1,;x1,;0) + (x2+y2,;x2,;0) = l(x1+x2+y1+y2,;x1+x2,;0r)
Logo
T((x1,y1)+(x2,y2)) = T(x1,y1) + T(x2,y2)

Passo 3

Verificação de homogeneidade escalar. Seja cinR e (x,y)inR^2. Então
Tl(c,(x,y)r) = T(cx,;cy) = (cx+cy,;cx,;0) = c,(x+y,;x,;0) = c,T(x,y)
Logo
Tl(c,(x,y)r) = c,T(x,y)

Passo 4

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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