Exemplo 04
Um próton parte do repouso da superficie de uma esfera que foi carregada até +1000 V . Qual a velocidade do próton ao passar pelo ponto onde o potencial vale +500 V ?

Passo 1

O enunciado pede: qual a velocidade de um próton ao passar por um ponto onde o potencial elétrico vale +500\\ \mathrm{V}, sabendo que ele partiu do repouso na superfície de uma esfera cujo potencial era +1000\\ \mathrm{V}.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • Potencial inicial: V_i = +1000\\ \mathrm{V}.
  • Potencial no ponto pedido: V_f = +500\\ \mathrm{V}.
  • O próton parte do repouso, então a velocidade inicial é v_i = 0.
  • O corpo em movimento é um próton: carga e massa conhecidas — usarei os valores padrão:
    • Carga do próton: q = +e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Massa do próton: m_p = 1,67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
O que se pede:
  • Calcular a velocidade v_f do próton quando ele está no ponto com V_f = +500\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Em campos elétricos conservativos, a energia mecânica total (energia cinética + energia potencial elétrica) é conservada.
  • Energia potencial elétrica de uma carga q num ponto com potencial elétrico V é dada por
U = qV.
Aqui U tem unidade de joule, q em coulomb e V em volts.
  • Se a carga se desloca de um ponto com potencial V_i para outro com V_f, a variação de energia potencial é
\Delta U = U_f - U_i = q(V_f - V_i).
  • A conservação da energia mecânica (sem forças não conservativas) dá
\Delta K + \Delta U = 0,
ou seja, a variação da energia cinética \Delta K é \Delta K = -\Delta U.
  • Como o próton parte do repouso ( K_i=0), a energia cinética final K_f vale
K_f = -\Delta U = -q(V_f - V_i) = q(V_i - V_f).
Interpretação física simples: o próton, sendo positivamente carregado, ao mover-se de +1000\\ \mathrm{V} para +500\\ \mathrm{V} vai para potencial menor; portanto perde energia potencial elétrica e ganha energia cinética.

Passo 3

Relacionar energia cinética com velocidade e isolar v_f:
  • A energia cinética de uma partícula clássica é
K_f = \tfrac{1}{2} m_p v_f^{2},
onde m_p é a massa do próton e v_f a velocidade final.
  • Igualando com o ganho de energia proveniente da diferença de potencial:
\tfrac{1}{2} m_p v_f^{2} = q(V_i - V_f).
  • Isolando v_f:
v_f = \sqrt{\dfrac{2 q (V_i - V_f)}{m_p}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • v_f: velocidade final que queremos;
  • q: carga do próton (positiva);
  • V_i e V_f: potenciais inicial e final;
  • m_p: massa do próton.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (contas feitas de forma a dar para reproduzir na prova sem calculadora, com aproximações justificadas):
  1. Diferença de potencial:
V_i - V_f = 1000 - 500 = 500\\ \mathrm{V}.
  1. Produto carga × diferença de potencial (energia adquirida):
q(V_i - V_f) = e\cdot500 = \left(1,602176634\times10^{-19}\right)\cdot500 = 8,01088317\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
(Explicando: multiplicar por 500 desloca o expoente: 1{,}602176634\times500 = 801{,}088317 e com o fator 10^{-19} 8,01088317\times10^{-17}.)
  1. Agora calcular o argumento da raiz:
\dfrac{2 q (V_i - V_f)}{m_p} = \dfrac{2\cdot8,01088317\times10^{-17}}{1,67262192369\times10^{-27}}.
Calcular o numerador:
2\cdot8,01088317\times10^{-17} = 1,602176634\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.
Dividindo:
\frac{1,602176634\times10^{-16}}{1,67262192369\times10^{-27}} = \left(\frac{1,602176634}{1,67262192369}\right)\times10^{11}.
A razão 1{,}602176634/1{,}67262192369\approx0{,}9584. Portanto o quociente vale aproximadamente
0{,}9584\times10^{11} = 9{,}584\times10^{10}.
  1. Raiz quadrada:
v_f = \sqrt{9{,}584\times10^{10}}\\ \mathrm{m/s}.
Extraindo a raiz:
\sqrt{9{,}584\times10^{10}} = \sqrt{9{,}584}\times10^{5} \approx 3{,}096\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática para a prova (mantendo 3 algarismos significativos):
v_f \approx 3{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cheque de consistência (comentário útil para a prova):
  • Comparando com a velocidade da luz c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, temos v_f\ll c (cerca de 10^{-3}c), então a aproximação clássica (não-relativística) é válida e o uso de K=\tfrac{1}{2}mv^{2} está correto.
  • Senso físico: a velocidade é alta (algumas centenas de km/s), condizente com uma aceleração por uma diferença de potencial de algumas centenas de volts aplicada a uma carga elementar.

Resposta

v_f \approx 3{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}

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