Exemplo 04
Um próton parte do repouso da superficie de uma esfera que foi carregada até +1000 V . Qual a velocidade do próton ao passar pelo ponto onde o potencial vale +500 V ?
Um próton parte do repouso da superficie de uma esfera que foi carregada até +1000 V . Qual a velocidade do próton ao passar pelo ponto onde o potencial vale +500 V ?
Passo 1
O enunciado pede: qual a velocidade de um próton ao passar por um ponto onde o potencial elétrico vale
, sabendo que ele partiu do repouso na superfície de uma esfera cujo potencial era
.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
- Potencial inicial:
. - Potencial no ponto pedido:
. - O próton parte do repouso, então a velocidade inicial é
. - O corpo em movimento é um próton: carga e massa conhecidas — usarei os valores padrão:
- Carga do próton:
. - Massa do próton:
.
- Carga do próton:
O que se pede:
- Calcular a velocidade
do próton quando ele está no ponto com .
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
- Em campos elétricos conservativos, a energia mecânica total (energia cinética + energia potencial elétrica) é conservada.
- Energia potencial elétrica de uma carga
num ponto com potencial elétrico é dada por
Aqui
tem unidade de joule,
em coulomb e
em volts.
- Se a carga se desloca de um ponto com potencial
para outro com , a variação de energia potencial é
- A conservação da energia mecânica (sem forças não conservativas) dá
ou seja, a variação da energia cinética
é
.
- Como o próton parte do repouso (
), a energia cinética final vale
Interpretação física simples: o próton, sendo positivamente carregado, ao mover-se de
para
vai para potencial menor; portanto perde energia potencial elétrica e ganha energia cinética.
Passo 3
Relacionar energia cinética com velocidade e isolar
:
- A energia cinética de uma partícula clássica é
onde
é a massa do próton e
a velocidade final.
- Igualando com o ganho de energia proveniente da diferença de potencial:
- Isolando
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: velocidade final que queremos; -
: carga do próton (positiva); -
e : potenciais inicial e final; -
: massa do próton.
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (contas feitas de forma a dar para reproduzir na prova sem calculadora, com aproximações justificadas):
- Diferença de potencial:
- Produto carga × diferença de potencial (energia adquirida):
(Explicando: multiplicar por
desloca o expoente:
e com o fator
dá
.)
- Agora calcular o argumento da raiz:
Calcular o numerador:
Dividindo:
A razão
. Portanto o quociente vale aproximadamente
- Raiz quadrada:
Extraindo a raiz:
Arredondando de forma prática para a prova (mantendo 3 algarismos significativos):
Passo 5
Cheque de consistência (comentário útil para a prova):
- Comparando com a velocidade da luz
, temos (cerca de ), então a aproximação clássica (não-relativística) é válida e o uso de está correto. - Senso físico: a velocidade é alta (algumas centenas de km/s), condizente com uma aceleração por uma diferença de potencial de algumas centenas de volts aplicada a uma carga elementar.