Exercícios de Fixação
Qual é a velocidade de um elétron que foi acelerado a partir do repouso através de uma diferença de potencial de 1000 V ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um elétron parte do repouso.
  • É acelerado por uma diferença de potencial de 1000\\ \text{V}.
    O que se pede:
  • Calcular a velocidade final do elétron após essa aceleração.

Passo 2

Ideia física e conservação de energia (explicação didática):
Quando um elétron de carga e é acelerado por uma diferença de potencial \Delta V, a energia potencial elétrica que ele perde é convertida em energia cinética. A variação de energia potencial elétrica é -e\,\Delta V, e a energia cinética adquirida (partindo do repouso) é K=\tfrac{1}{2} m v^{2}, onde:
  • e é a carga do elétron (em coulombs),
  • m é a massa do elétron (em quilogramas),
  • v é a velocidade final (em metros por segundo).
Conservando energia (ganho de energia cinética = perda de energia potencial elétrica):
\frac{1}{2} m v^{2} = e\,\Delta V.
Essa fórmula é muito usada em física de partículas não relativística para converter volts em elétron-volts e depois em joules.

Passo 3

Apresentar a fórmula isolando v e explicar cada símbolo:
A partir de
\frac{1}{2} m v^{2} = e\,\Delta V,
isolamos v:
v = \sqrt{\frac{2 e\,\Delta V}{m}}.
Onde:
  • \Delta V = 1000\\ \text{V} (dado),
  • e é a carga elementar: e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \text{C},
  • m é a massa do elétron: m = 9{,}1093837015\times 10^{-31}\\ \text{kg}.

Passo 4

Verificação rápida da validade da aproximação não relativística (para não se assustar na prova):
Calcular a fração aproximada v/c mais tarde; se v for bem menor que c (velocidade da luz), a fórmula clássica é válida. Para elétrons acelerados por 1000\\ \text{V} isso costuma ser seguro (resulta em algumas centenas de vezes menor que c), então a fórmula não relativística é adequada. Vamos calcular e checar isso no final.

Passo 5

Substituir os valores na expressão e calcular passo a passo (contas mostrando potências de 10):
Primeiro calcule o numerador:
2 e\,\Delta V = 2 \times (1{,}602176634\times 10^{-19}) \times 1000.
Como multiplicar por 1000 é aumentar a potência de 10 em +3:
2 e\,\Delta V = 2 \times 1{,}602176634 \times 10^{-19+3} = 3{,}204353268 \times 10^{-16}.
Agora dividir por m:
\frac{2 e\,\Delta V}{m} = \frac{3{,}204353268 \times 10^{-16}}{9{,}1093837015\times 10^{-31}}.
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes:
\frac{3{,}204353268}{9{,}1093837015} \approx 0{,}3517\quad\text{e}\quad 10^{-16-(-31)}=10^{15},
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\frac{2 e\,\Delta V}{m} \approx 0{,}3517 \times 10^{15} = 3{,}517\times 10^{14}.
Agora a velocidade:
v = \sqrt{3{,}517\times 10^{14}} = \sqrt{3{,}517}\times 10^{7}.
Como \sqrt{3{,}517}\approx 1{,}876, obtemos
v \approx 1{,}876\times 10^{7}\\ \text{m/s}.

Passo 6

Interpretação do resultado e checagem da aproximação:
O valor numérico encontrado é
v \approx 1{,}876\times 10^{7}\\ \text{m/s}.
Comparando com a velocidade da luz c\approx 3{,}00\times 10^{8}\\ \text{m/s}:
\frac{v}{c}\approx \frac{1{,}876\times 10^{7}}{3{,}00\times 10^{8}}\approx 0{,}0625\;(6{,}25\%).
Como v é muito menor que c, a aproximação não relativística usada ( \tfrac{1}{2}mv^{2}=e\Delta V) é válida. Parabéns, a conta está consistente.

Resposta

v \approx 1{,}876\times 10^{7}\\ \text{m/s}

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