Uma casca esférica de carga Q, com densidade volumétrica de carga uniforme
, é limitada pelas superfícies
e
, com
. Tomando
no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância
em relação ao centro da casca, considerando as regiões
As soluções são compatíveis para
As soluções são compatíveis para
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica carregada, com densidade volumétrica uniforme
, ocupando a região radial entre
e
(com
). A carga total da casca é
(essa
e
estão relacionadas, vou explicitar isso). Foi fixada a referência
.
O que o problema pede:
- Determinar o potencial elétrico
como função de nas três regiões: -
(fora da casca), -
(dentro do material carregado da casca), -
(no interior oco).
-
- Verificar se as soluções são compatíveis (i.e. contínuas) em
e em .
Informações dadas e que usarei:
- densidade volumétrica uniforme
; - raios
; - carga total
da casca; - referência
.
Relação útil entre
e
(que vou usar quando conveniente):
Passo 2
Estratégia de solução (passo a passo do raciocínio, sem pular etapas):
- Por simetria esférica, aplico a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico radial
em cada região. - Depois uso a relação entre campo e potencial,
, e integro com a condição para obter .
Vou explicar cada fórmula e variável quando aparecer.
Breve lembrando a Lei de Gauss na forma que vou usar:
Para uma superfície esférica de raio
centrada na casca,
é radial e constante sobre a superfície, logo
Aqui
é a carga total contida em
.
Passo 3
Para
toda a carga
está contida em
, então
Pelo resultado da Gauss:
Agora obtenho
integrando
com
. Como
,
Substituindo
:
Interpretação física rápida: fora da casca o potencial é igual ao de uma carga pontual
no centro.
Passo 4
Agora, para um ponto
com
, a carga contida dentro de uma esfera de raio
é a carga do volume entre
e
. Como a densidade é uniforme:
Inserindo na expressão de
:
Explicando esse passo: simplificou-se
e rearranjou-se a potência de
no numerador/denominador.
Para obter
com
, uso de novo
Como a expressão de
muda em
(dentro e fora da casca), separo a integral:
Já sabemos
. Substituindo
e calculando as integrais passo a passo:
Primeira integral:
Calcule as duas parcelas separadamente:
portanto
Multiplicando pelo fator
obtemos a contribuição interior.
Segunda integral (fora):
Somando as duas contribuições:
Essa é a forma direta em termos de
. Se preferir escrever tudo em função de
, substitua
por
usando a relação do Passo 1.
Passo 5
Para
nenhuma carga está contida dentro de uma esfera de raio
, pois a casca começa em
. Assim
Se
então
constante na região interna. Essa constante é igual ao valor de
no ponto
(continuidade do potencial). Logo
Usando a expressão do Passo 4 com
(ou calculando diretamente a integral de
até
) obtemos
Se quiser, essa expressão pode ser simplificada algébrica e/ou expressa em termos de
usando a relação do Passo 1.
Passo 6
Verificação em
:
- Limite vindo de fora:
. - Limite vindo de dentro: na expressão da região interna coloque
. No termo entre colchetes aparece e . Portanto resta . Conclusão: é contínua em .
Verificação em
:
- A expressão para
na região avaliada em dá exatamente a constante usada para (pois esta constante foi obtida calculando ). Logo . Portanto é contínua em .
Comentário físico curto: o potencial
deve ser contínuo em qualquer ponto (salvo situações de superfícies com cargas infinitas onde
ainda é contínuo; o campo elétrico pode ter salto apenas se existir carga superficial infinita). Aqui não há carga superficial idealizada (a carga é volumétrica), então
e
comportam-se de maneira regular:
tende a zero ao aproximar-se de
por dentro e por fora, e as expressões batem. Portanto as soluções são compatíveis nas fronteiras.