Uma casca esférica de carga Q, com densidade volumétrica de carga uniforme \rho, é limitada pelas superfícies r=r_{1} e r=r_{2}, com r_{2}>r_{1}. Tomando \mathrm{V}=0 no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância r em relação ao centro da casca, considerando as regiões
As soluções são compatíveis para \mathrm{r}=\mathrm{r}_{2} \mathrm{e} \mathrm{r}=\mathrm{r}_{1} ?

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica carregada, com densidade volumétrica uniforme \rho, ocupando a região radial entre \,r=r_{1}\, e \,r=r_{2}\, (com r_{2}>r_{1}). A carga total da casca é Q (essa Q e \rho estão relacionadas, vou explicitar isso). Foi fixada a referência \mathrm{V}(\infty)=0.
O que o problema pede:
  • Determinar o potencial elétrico V como função de r nas três regiões:
    1. \,r>r_{2}\, (fora da casca),
    2. \,r_{1}<r<r_{2}\, (dentro do material carregado da casca),
    3. \,r<r_{1}\, (no interior oco).
  • Verificar se as soluções são compatíveis (i.e. contínuas) em r=r_{2} e em r=r_{1}.
Informações dadas e que usarei:
  • densidade volumétrica uniforme \rho;
  • raios \,r_{1}, r_{2}\,;
  • carga total Q da casca;
  • referência V(\infty)=0.
Relação útil entre Q e \rho (que vou usar quando conveniente):
Q=\rho\cdot \frac{4\pi}{3}\bigl(r_{2}^{3}-r_{1}^{3}\bigr).

Passo 2

Estratégia de solução (passo a passo do raciocínio, sem pular etapas):
  • Por simetria esférica, aplico a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico radial E(r) em cada região.
  • Depois uso a relação entre campo e potencial, E(r)=-\dfrac{dV}{dr}, e integro com a condição V(\infty)=0 para obter V(r).
    Vou explicar cada fórmula e variável quando aparecer.
Breve lembrando a Lei de Gauss na forma que vou usar:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Para uma superfície esférica de raio r centrada na casca, \mathbf{E} é radial e constante sobre a superfície, logo
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}.
Aqui Q_{\text{enc}}(r) é a carga total contida em r'<r.

Passo 3

Para r>r_{2} toda a carga Q está contida em r'<r, então
Q_{\text{enc}}(r)=Q.
Pelo resultado da Gauss:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}.
Agora obtenho V(r) integrando E com V(\infty)=0. Como E=-dV/dr,
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'=\int_{r}^{\infty} E(r')\,dr'.
Substituindo E(r'):
V(r)=\int_{r}^{\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r'^{2}}\,dr' =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\,-\frac{1}{r'}\right]_{r}^{\infty} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}.
Interpretação física rápida: fora da casca o potencial é igual ao de uma carga pontual Q no centro.

Passo 4

Agora, para um ponto r com r_{1}<r<r_{2}, a carga contida dentro de uma esfera de raio r é a carga do volume entre r_{1} e r. Como a densidade é uniforme:
Q_{\text{enc}}(r)=\rho\cdot \frac{4\pi}{3}\bigl(r^{3}-r_{1}^{3}\bigr).
Inserindo na expressão de E:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\rho\cdot \dfrac{4\pi}{3}\bigl(r^{3}-r_{1}^{3}\bigr)}{r^{2}} =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(r-\frac{r_{1}^{3}}{r^{2}}\right).
Explicando esse passo: simplificou-se 4\pi e rearranjou-se a potência de r no numerador/denominador.
Para obter V(r) com V(\infty)=0, uso de novo
V(r)=\int_{r}^{\infty} E(r')\,dr'.
Como a expressão de E(r') muda em r'=r_{2} (dentro e fora da casca), separo a integral:
V(r)=\int_{r}^{r_{2}} E_{\text{dentro}}(r')\,dr' + \int_{r_{2}}^{\infty} E_{\text{fora}}(r')\,dr'.
Já sabemos E_{\text{fora}}(r')=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r'^{2}}. Substituindo E_{\text{dentro}} e calculando as integrais passo a passo:
Primeira integral:
\int_{r}^{r_{2}} E_{\text{dentro}}(r')\,dr' =\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_{r}^{r_{2}}\left(r'-\frac{r_{1}^{3}}{r'^{2}}\right)dr'.
Calcule as duas parcelas separadamente:
\int_{r}^{r_{2}} r'\,dr'=\frac{1}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr),
\int_{r}^{r_{2}} \frac{dr'}{r'^{2}}=\left[-\frac{1}{r'}\right]_{r}^{r_{2}}=\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{2}},
portanto
\int_{r}^{r_{2}}\left(r'-\frac{r_{1}^{3}}{r'^{2}}\right)dr' =\frac{1}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr)-r_{1}^{3}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Multiplicando pelo fator \rho/(3\varepsilon_0) obtemos a contribuição interior.
Segunda integral (fora):
\int_{r_{2}}^{\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r'^{2}}\,dr' =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r_{2}}.
Somando as duas contribuições:
V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\!\left[\frac{1}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr)-r_{1}^{3}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{2}}\right)\right] +\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{2}}.
Essa é a forma direta em termos de \rho. Se preferir escrever tudo em função de Q, substitua \rho por \dfrac{3Q}{4\pi\bigl(r_{2}^{3}-r_{1}^{3}\bigr)} usando a relação do Passo 1.

Passo 5

Para r<r_{1} nenhuma carga está contida dentro de uma esfera de raio r, pois a casca começa em r_{1}. Assim
Q_{\text{enc}}(r)=0\quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Se E(r)=0 então V(r)= constante na região interna. Essa constante é igual ao valor de V no ponto r=r_{1} (continuidade do potencial). Logo
V(r)=V(r_{1})\quad\text{para }r<r_{1}.
Usando a expressão do Passo 4 com r=r_{1} (ou calculando diretamente a integral de r_{1} até \infty) obtemos
V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\!\left[\frac{1}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)-r_{1}^{3}\!\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)\right] +\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{2}}\quad\text{(constante, para }r<r_{1}\text{)}.
Se quiser, essa expressão pode ser simplificada algébrica e/ou expressa em termos de Q usando a relação do Passo 1.

Passo 6

Verificação em r=r_{2}:
  • Limite vindo de fora: V(r_{2}^{+})=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{2}}.
  • Limite vindo de dentro: na expressão da região interna coloque r=r_{2}. No termo entre colchetes aparece \dfrac{1}{2}(r_{2}^{2}-r_{2}^{2})=0 e -r_{1}^{3}\bigl(\tfrac{1}{r_{2}}-\tfrac{1}{r_{2}}\bigr)=0. Portanto resta \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{2}}. Conclusão: V é contínua em r=r_{2}.
Verificação em r=r_{1}:
  • A expressão para V na região r_{1}<r<r_{2} avaliada em r=r_{1} dá exatamente a constante usada para r<r_{1} (pois esta constante foi obtida calculando V(r_{1})). Logo V(r_{1}^{-})=V(r_{1}^{+}). Portanto V é contínua em r=r_{1}.
Comentário físico curto: o potencial V deve ser contínuo em qualquer ponto (salvo situações de superfícies com cargas infinitas onde V ainda é contínuo; o campo elétrico pode ter salto apenas se existir carga superficial infinita). Aqui não há carga superficial idealizada (a carga é volumétrica), então E e V comportam-se de maneira regular: E tende a zero ao aproximar-se de r_{1} por dentro e por fora, e as expressões batem. Portanto as soluções são compatíveis nas fronteiras.

Resposta

\displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}\quad (r>r_{2})
\displaystyle V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\!\left[\tfrac{1}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr)-r_{1}^{3}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{2}}\right)\right] +\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{2}}\quad (r_{1}<r<r_{2})
\displaystyle V(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\!\left[\tfrac{1}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)-r_{1}^{3}\!\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)\right] +\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{2}}\quad (r<r_{1})

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