Calcule as integrais indefinidas:
\int \sin ^{5}\left(\frac{3}{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin^5!l(tfrac32xr),dx
O conteúdo aqui é integração de potência ímpar de seno. Vamos usar mudança de variável para simplificar o argumento e depois a técnica de escrever sin^5theta como (1-cos^2theta)^2sintheta.

Passo 2

Primeiro faça a substituição
theta = tfrac32x, dtheta = tfrac32,dx Longrightarrow dx = tfrac23,dtheta
Assim
integral sin^5!l(tfrac32xr),dx = integral sin^5theta;l(tfrac23dthetar) = tfrac23integral sin^5theta,dtheta

Passo 3

Agora use que sin^5theta=sin^4thetasintheta=(1-cos^2theta)^2sintheta. Então
tfrac23integral sin^5theta,dtheta = tfrac23integral (1-cos^2theta)^2sintheta,dtheta

Passo 4

Faça a troca u=costheta, daí du=-sintheta,dtheta. A integral fica
tfrac23integral (1-u^2)^2sintheta,dtheta = -tfrac23integral (1-u^2)^2,du = -tfrac23integral (1 -2u^2 +u^4),du

Passo 5

Integramos o polinômio em u:
-tfrac23integral (1 -2u^2 +u^4),du = -tfrac23l(u - tfrac23u^3 + tfrac15u^5r) + C

Passo 6

Substitua u=costheta e theta=tfrac32x:
-tfrac23l(costheta - tfrac23cos^3theta + tfrac15cos^5thetar) + C ;=; -tfrac23cos!l(tfrac32xr) +tfrac49cos^3!l(tfrac32xr) -tfrac215cos^5!l(tfrac32xr) + C

Resposta

integral sin^5!l(tfrac32xr),dx = -tfrac23cos!l(tfrac32xr) +tfrac49cos^3!l(tfrac32xr) -tfrac215cos^5!l(tfrac32xr) + C

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