Exemplo 10: Um resistor com resistência 10 M Omega é conectado em série com um capacitor com 1,0 mu F de capacitância e com uma bateria de fem igual a 12,0 V. Antes de a chave ser fechada no instante t=O, o capacitor está descarregado. (a) Qual é a constante de tempo? (b) Qual é a fração da carga final Qf que está sobre o capacitor quando t=46 s ? (c) Qual é a fração da corrente inicial I0 que permanece quando t=46 s ?

Passo 1

O enunciado trata de um circuito RC em série formado por um resistor de 10,MOmega e um capacitor de 1,0,muF, ligados a uma bateria de 12,0,V. No instante t=0 o capacitor está completamente descarregado e a chave é fechada. Vamos aplicar a teoria de carga de um capacitor em circuito RC para encontrar:
(a) a constante de tempo tau,
(b) a fração da carga final em t=46,s,
(c) a fração da corrente inicial em t=46,s.

Passo 2

A constante de tempo de um circuito RC é definida por
tau = R,C
Substituindo R=10times10^6,Omega e C=1,0times10^-6,F, temos
tau = (10times10^6),(1,0times10^-6) = 10,s

Passo 3

A carga no capacitor em função do tempo durante a carga é dada por
Q(t) = Qfl(1 - e^-t/taur),
onde Qf=C,V é a carga final. A fração da carga final é
Q(t)Qf ;=; 1 - e^-t/tau

Passo 4

Para t=46,s e tau=10,s:
Q(46)Qf = 1 - e^-46/10 = 1 - e^-4,6 approx 1 - 0,010 = 0,990 approx 99%

Passo 5

A corrente no circuito durante a carga decai exponencialmente segundo
I(t) = I0,e^-t/tau,
onde I0=V/R é a corrente inicial. A fração da corrente inicial é
I(t)I0 = e^-t/tau

Passo 6

Para t=46,s e tau=10,s:
I(46)I0 = e^-46/10 = e^-4,6 approx 0,010 approx 1%

Resposta

(a) tau = 10,s
(b) Q(46)Qfapprox 0,99 (99 %).
(c) I(46)I0approx 0,01 (1 %).

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