Exemplo 1.4.5: Sabendo que \|\vec{u}\|=4,\|\vec{v}\|=2 e \vec{u} \cdot \vec{v}=3, calcule (3 \vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(-\vec{u}+4 \vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá as normas \|\vec{u}\|=4, \|\vec{v}\|=2 e o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=3, e pede para calcular
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}).
O conteúdo usado será a bilinearidade do produto escalar, junto com \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 e \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2.

Passo 2

Expandimos pelo distributivo do produto escalar:
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}) =3\vec{u}\cdot(-\vec{u}) + 3\vec{u}\cdot(4\vec{v}) -2\vec{v}\cdot(-\vec{u}) -2\vec{v}\cdot(4\vec{v}).
Agrupando coeficientes:
=-3\,(\vec{u}\cdot\vec{u}) +12\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) +2\,(\vec{v}\cdot\vec{u}) -8\,(\vec{v}\cdot\vec{v}).

Passo 3

Usamos \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2=4^2=16, \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2=2^2=4 e \vec{u}\cdot\vec{v}=3. Como \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, cada termo fica:
-3\cdot16 +12\cdot3 +2\cdot3 -8\cdot4.

Passo 4

Calculando:
-3\cdot16 = -48,\quad 12\cdot3=36,\quad 2\cdot3=6,\quad -8\cdot4=-32,
então
-48 +36 +6 -32 = -38.

Resposta

-38

Exercícios relacionados