Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores vec{u}, vec{v} e vec{w} e para qualquer escalar lambda \in \mathbb{R}, tem-se:
vec{u} \cdot \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \cdot vec{u}=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo vetor \vec{u}, vale
\vec{u}\cdot\overrightarrow{0}=0 \quad\text{e}\quad \overrightarrow{0}\cdot\vec{u}=0.
O conteúdo usado será a linearidade do produto escalar em cada argumento e a sua simetria, além da definição do vetor nulo \overrightarrow{0}, que satisfaz \overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.

Passo 2

Prova de \vec{u}\cdot\overrightarrow{0}=0. Como \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}, pela distributividade do produto escalar no segundo fator temos
\vec{u}\cdot\overrightarrow{0} = \vec{u}\cdot(\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}) = \vec{u}\cdot\overrightarrow{0} + \vec{u}\cdot\overrightarrow{0}.
Chamando x=\vec{u}\cdot\overrightarrow{0}, essa igualdade fica x = x + x. Subtraindo x em ambos os lados (propriedade de inverso aditivo em \mathbb{R}), obtemos
0 = x,
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\vec{u}\cdot\overrightarrow{0} = 0.

Passo 3

Prova de \overrightarrow{0}\cdot\vec{u}=0. Como o produto escalar é simétrico, vale
\overrightarrow{0}\cdot\vec{u} = \vec{u}\cdot\overrightarrow{0}.
Pelo resultado do passo anterior, esse valor é 0. Portanto
\overrightarrow{0}\cdot\vec{u} = 0.

Resposta

\vec{u}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\cdot\vec{u}=0.

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