Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, tem-se:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo vetor
, vale
O conteúdo usado será a linearidade do produto escalar em cada argumento e a sua simetria, além da definição do vetor nulo
, que satisfaz
.
Passo 2
Prova de
. Como
, pela distributividade do produto escalar no segundo fator temos
Chamando
, essa igualdade fica
. Subtraindo
em ambos os lados (propriedade de inverso aditivo em
), obtemos
logo
Passo 3
Prova de
. Como o produto escalar é simétrico, vale
Pelo resultado do passo anterior, esse valor é
. Portanto