Exemplo 4.10.4. Todas as arestas de um cubo estão se expandindo à razão de 3 cm / s. Determine com que rapidez o volume está variando quando cada aresta é:
a) 1 cm
b) 10 cm .

Passo 1

O enunciado descreve um cubo cujas arestas têm comprimento x(t) e crescem à razão
dxdt=3 cm/s
Ele pede a taxa de variação do volume V quando x=1 cm e quando x=10 cm. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume do cubo em função de x:
V = x^3
Para encontrar a taxa dVdt, derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, usando a regra da cadeia:

Passo 3

dVdt = ddtl(x^3r) = 3,x^2;dxdt
Substituindo dxdt=3 cm/s, temos
dVdt = 3,x^2 cdot 3 = 9,x^2l(cm^3/sr)

Passo 4

Quando x=1 cm,
dVdt = 9cdot 1^2 = 9l(cm^3/sr)

Passo 5

Quando x=10 cm,
dVdt = 9cdot 10^2 = 900l(cm^3/sr)

Resposta

(a) dVdt=9cm^3/s
(b) dVdt=900cm^3/s

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