Mostre que S^n-1=x in R^n ;|x|=1 subset R^n é compacto e conexo. (Dica: use a função contínua f: R^n R dada por f(x)=x1^2+ldots+xn^2 e caminhos adequados que liguem pontos de S^n-1 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S^n-1=xinR^n:|x|=1
é compacto e conexo.
Conteúdo: uso do Teorema de Heine–Borel em R^n (fechado + limitado Rightarrow compacto) e argumento de conexidade via caminhos (path-connected Rightarrow connected).
Vamos usar a função contínua
f:R^ntoR, f(x)=x1^2+cdots+xn^2
e construir caminhos que liguem quaisquer dois pontos de S^n-1.

Passo 2

(Provar que S^n-1 é compacto)
1. A função f é contínua em R^n.
2. Note que
S^n-1=f^-1(1),
isto é, é o conjunto de nível 1. Como 1subsetR é fechado e f é contínua, f^-1(1) é fechado em R^n.
3. Além disso, todo xinS^n-1 satisfaz |x|=1, logo S^n-1 está contido na bola fechada de raio 1, que é limitada.
4. Pelo Teorema de Heine–Borel, em R^n todo conjunto fechado e limitado é compacto. Portanto S^n-1 é compacto.

Passo 3

(Provar que S^n-1 é conexo via caminhos)
Queremos dado x,yinS^n-1 construir gamma:[0,1]toS^n-1 contínua com gamma(0)=x e gamma(1)=y.
Caso A: xneq -y. Defina
gamma(t) =(1-t),x + t,y|(1-t),x + t,y|, tin[0,1]
  • O numerador nunca é 0 porque (1-t)x + t y só seria zero se x=-y e t=tfrac12, o que excluímos.
  • Assim gamma(t) está bem definida e tem norma 1 para todo t, isto é, gamma(t)inS^n-1.
  • É fácil ver que gamma é contínua e que gamma(0)=x, gamma(1)=y.
Caso B: x=-y. Escolha um vetor zinS^n-1 que não seja colinear com x (por exemplo, z=e1 se xneqpm e1, senão escolha outra coordenada padrão). Então xneq -z e zneq -y, e podemos ligar x a z e depois z a y usando o caso A. Compondo dois caminhos obtemos um caminho de x a y.
Em ambos os casos, existe gamma contínua em [0,1] com imagem em S^n-1 ligando x a y. Logo S^n-1 é path-connected e, portanto, conexo.

Resposta

S^n-1 é compacto e conexo.

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