Mostre que é compacto e conexo. (Dica: use a função contínua dada por e caminhos adequados que liguem pontos de ).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é compacto e conexo.
Conteúdo: uso do Teorema de Heine–Borel em (fechado limitado compacto) e argumento de conexidade via caminhos (path-connected connected).
Vamos usar a função contínua
e construir caminhos que liguem quaisquer dois pontos de .
Passo 2
(Provar que é compacto) . A função é contínua em . . Note que
isto é, é o conjunto de nível . Como é fechado e é contínua, é fechado em . . Além disso, todo satisfaz , logo está contido na bola fechada de raio , que é limitada. . Pelo Teorema de Heine–Borel, em todo conjunto fechado e limitado é compacto. Portanto é compacto.
Passo 3
(Provar que é conexo via caminhos)
Queremos dado construir contínua com e .
Caso A: . Defina
O numerador nunca é 0 porque (1-t)x + t y só seria zero se x=-y e t=tfrac12, o que excluímos.
Assim gamma(t) está bem definida e tem norma 1 para todo t, isto é, gamma(t)inS^n-1.
É fácil ver que gamma é contínua e que gamma(0)=x, gamma(1)=y.
Caso B: x=-y. Escolha um vetor zinS^n-1 que não seja colinear com x (por exemplo, z=e1 se xneqpm e1, senão escolha outra coordenada padrão). Então xneq -z e zneq -y, e podemos ligar x a z e depois z a y usando o caso A. Compondo dois caminhos obtemos um caminho de x a y.
Em ambos os casos, existe gamma contínua em [0,1] com imagem em S^n-1 ligando x a y. Logo S^n-1 é path-connected e, portanto, conexo.