Calcule:

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
limxto 2^-x^2+3xx^2-4.
O conteúdo aqui é limite lateral de função racional cuja singularidade aparece no denominador. Para resolver vamos fatorar o denominador e analisar o sinal de cada fator próximo a x=2.

Passo 2

Fatoramos o denominador para expor a raiz em x=2:
x^2 - 4 = (x-2)(x+2)
Assim a função fica x^2+3x(x-2)(x+2), deixando claro que o possível problema está em x=2.

Passo 3

Analisamos o numerador quando xto2:
limxto2(x^2+3x) = 2^2 + 3cdot2 = 10,
logo, para x perto de 2, o numerador é aproximado por 10, que é positivo.

Passo 4

Agora o denominador em xto2^-:
  • O fator (x-2) tende a 0 vindo de valores negativos (pois x<2).
  • O fator (x+2) tende a 4, que é positivo.
    Portanto (x-2)(x+2)to 0 pela esquerda, ou seja, tende a um valor pequeno e negativo.

Passo 5

Com numerador positivo (aprox. 10) e denominador tendendo a 0^-, a fração
x^2+3xx^2-4
tende a dividir um positivo por um pequeno negativo, o que faz o valor da razão ir para -infty.

Resposta

-infty

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