\int_{-2}^{2} \frac{x}{2-x} d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{2}\frac{x}{2-x}\,dx.
Note que o integrando fica indefinido em x=2, que é o limite superior. Portanto trata-se de uma integral imprópria do tipo I, e vamos defini-la como
\lim_{t\to2^-}\int_{-2}^{t}\frac{x}{2-x}\,dx.

Passo 2

Para achar uma primitiva, simplificamos a função por divisão de polinômio:
\frac{x}{2-x} =-\frac{x}{x-2} =-\Bigl(1+\frac{2}{x-2}\Bigr) =-1-\frac{2}{x-2}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int\Bigl(-1-\frac{2}{x-2}\Bigr)dx =-\int 1\,dx \;-\;2\int\frac{1}{x-2}\,dx =-x -2\ln\lvert x-2\rvert +C.
Logo uma primitiva é
F(x)=-x -2\ln\lvert x-2\rvert.

Passo 4

Escrevemos a integral imprópria como
\int_{-2}^{2}\frac{x}{2-x}dx =\lim_{t\to2^-}\bigl[F(t)-F(-2)\bigr].
Calculamos
F(t)-F(-2) =\bigl(-t-2\ln|t-2|\bigr) -\bigl(2-2\ln4\bigr) =-t-2\ln(2-t)-2+2\ln4.

Passo 5

Ao levar t\to2^- temos 2-t\to0^+, então \ln(2-t)\to-\infty e
-2\ln(2-t)\to +\infty.
Portanto
\lim_{t\to2^-}\bigl[F(t)-F(-2)\bigr]=+\infty
e a integral não converge para valor finito.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{x}{2-x}\,dx é divergente; não converge.

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