Exemplo 6: Dada f(x)=\left\{\begin{array}{c}-3, x \leq-2 \\\\ 1,-2 \leq x \leq 2 \\\\ 2, x>2\end{array}\right. :
a) Encontre D(f)
b) Encontre \operatorname{Im}(f)
c) Faça um esboço do gráfico de f
Passo 1
O enunciado nos dá a função de variável real definida a “pedaços”
e pede:
– (a) o domínio D(f);
– (b) a imagem \Im(f);
– (c) um esboço do gráfico de f.
Para isso, vamos usar as definições de domínio (conjunto de todos os x em que f está definida) e imagem (conjunto de valores que f assume), e em seguida desenhar cada trecho horizontal com pontos abertos ou fechados nas fronteiras.
Passo 2
Para achar o domínio de uma função definida por partes, basta verificar se existe algum x que não caiba em nenhum dos trechos. Aqui temos três casos que cobrem
x\le -2,\quad -2\le x\le 2,\quad x>2,
ou seja, todo número real. Logo
D(f)=\mathbb{R}.
Passo 3
A imagem de f é o conjunto de valores que f(x) pode assumir. Pelos trechos, vemos que f(x) só vale -3, 1 ou 2. Portanto
\Im(f)=\{-3,\,1,\,2\}.
Passo 4
Para desenhar o gráfico de f:
– No intervalo x< -2, f(x)=-3. Desenhe a reta horizontal em y=-3 e use ponto aberto em (-2,-3).
– Em -2\le x\le 2, f(x)=1. Desenhe a reta horizontal em y=1 de -2 até 2 e use pontos fechados em (-2,1) e (2,1).
– Para x>2, f(x)=2. Desenhe a reta horizontal em y=2 para a direita de x=2 e use ponto aberto em (2,2).
Resposta
a) D(f)=\mathbb{R}
b) \Im(f)=\{-3,\,1,\,2\}
c) Gráfico de f:
– reta em y=-3 para x< -2 com ponto aberto em (-2,-3);
– reta em y=1 para -2\le x\le 2 com pontos fechados em (-2,1) e (2,1);
– reta em y=2 para x>2 com ponto aberto em (2,2).