Exemplo 1.4.12. a) Quantas são as permutações de (1,2,3,4,5) que não têm elementos no seu lugar primitivo?
b) Quantas são as permutações de (1,2,3,4,5) que têm exatamente três elementos no seu lugar primitivo?
b) Quantas são as permutações de (1,2,3,4,5) que têm exatamente três elementos no seu lugar primitivo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre as permutações de
:
a) quantas não têm ponto fixo (ou seja, nenhum elemento fica na sua posição original)?
b) quantas têm exatamente três pontos fixos?
O tema aqui é contar derangements (permutações sem pontos fixos) e usar combinações para fixar posições.
a) quantas não têm ponto fixo (ou seja, nenhum elemento fica na sua posição original)?
b) quantas têm exatamente três pontos fixos?
O tema aqui é contar derangements (permutações sem pontos fixos) e usar combinações para fixar posições.
Passo 2
Para a) vamos usar a fórmula geral do número de derangements de
objetos, denotado por
:
No nosso caso
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
:
Passo 4
Para b) queremos exatamente três elementos fixos. O procedimento é:
- Escolher quais 3 das 5 posições vão ficar fixas.
- Nas 2 posições restantes, colocar uma permutação sem ponto fixo (um derangement de tamanho 2).
Passo 5
O número de maneiras de escolher as 3 posições fixas é
. O número de derangements de 2 objetos é
Logo o total é
Resposta
a)
b)
b)