Exercício 1.4.13. Quatro cartas distintas devem ser inseridas em quatro envelopes já subscritados com endereços distintos. Se para cada carta só há um endereço certo, de quantas maneiras possíveis um funcionário desatento poderá inserir as cartas nos envelopes errados?

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro cartas distintas e quatro envelopes distintos, cada carta tem exatamente um envelope certo, e queremos contar de quantas maneiras o funcionário poderá colocar todas as cartas em envelopes errados. Esse problema cai no tema de deranjamentos em combinações, e vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para resolver.

Passo 2

Primeiro contamos todas as permutações possíveis das quatro cartas nos quatro envelopes, depois subtraímos as permutações que têm pelo menos uma carta no envelope correto, aplicando inclusão-exclusão.

Passo 3

O total de permutações de 4 objetos é
4! = 24
Pela inclusão-exclusão, o número de permutações com pelo menos uma carta no lugar certo é
binom413! ;-;binom422!;+;binom431!;-;binom440! =4cdot6;-;6cdot2;+;4cdot1;-;1cdot1 =24-12+4-1=15

Passo 4

O número de permutações em que nenhuma carta fica no envelope correto (deranjamentos) é
24 - 15 = 9

Resposta

9

Exercícios relacionados