Exercício 1.4.10. Uma pesquisa foi realizada com 2.000 pessoas sobre duas marcas de sabão em pó A e B. A pesquisa revelou que 1.350 pessoas utilizam a marca A, 980 a marca B e 720 ambas as marcas. Determine o número de pessoas que:
(a) utilizam ao menos uma destas marcas;
(b) utilizam apenas uma destas marcas;
(c) não utilizam nenhuma das duas marcas.

Passo 1

O enunciado diz que entrevistamos 2,000 pessoas e anotamos quantas usam sabão em pó das marcas A e B. Temos
lvert Arvert=1,350, lvert Brvert=980 e lvert Acap Brvert=720.
O conteúdo que vamos usar é o princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos, e depois a relação entre união e complementar.

Passo 2

Para saber quantas pessoas usam ao menos uma das marcas, calculamos a união via inclusão-exclusão:
lvert Acup Brvert = lvert Arvert + lvert Brvert - lvert Acap Brvert = 1,350 + 980 - 720 = 1,610

Passo 3

Quem usa apenas uma das marcas é o total da união menos quem usa as duas, ou então somar os exclusivos:
lvert Asetminus Brvert = lvert Arvert - lvert Acap Brvert = 1,350 - 720 = 630,
lvert Bsetminus Arvert = lvert Brvert - lvert Acap Brvert = 980 - 720 = 260,
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lvertapenas umarvert = 630 + 260 = 890

Passo 4

Quem não usa nenhuma das duas marcas é o complementar da união no universo de 2,000 pessoas:
2000 - lvert Acup Brvert = 2000 - 1610 = 390

Resposta

(a) 1610
(b) 890
(c) 390

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