Exercício 1.4.11. a) De quantos modos podemos distribuir m partículas iguais por n níveis distintos? (em Física essa distribuição é chamda de estatística de Bose-Einstein). b) Em quantas dessas distribuições todos os níveis ficam ocupados?

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantos modos podemos distribuir m partículas idênticas em n níveis distintos (estatística de Bose–Einstein). Esse é um problema de contagem de soluções inteiras não negativas da equação
x1 + x2 + cdots + xn = m,
onde xi é o número de partículas no nível i. Para (b) impomos ainda xi>=1 para todo i.

Passo 2

Para a parte (a) permitimos xi>=0. O método “estrelas e barras” diz que o número de soluções não negativas de
x1 + x2 + cdots + xn = m
é
binomm + n - 1n - 1
A ideia é que temos m estrelas (partículas) e precisamos de n-1 barras para dividir em n níveis, totalizando m+(n-1) símbolos.

Passo 3

Para a parte (b) exigimos xi>=1. Definimos yi=xi-1>=0. Então
sumi=1^nyi ;=;sumi=1^n(xi-1) ;=;m - n
Agora contamos soluções não negativas de
y1 + y2 + cdots + yn = m - n,
que, pelo mesmo argumento de estrelas e barras, é
binom(m-n) + n - 1n - 1 ;=;binomm - 1n - 1

Resposta

a) binomm + n - 1n - 1
b) binomm - 1n - 1

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