Exemplo 12 - Resolva
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x^{\wedge} 2+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 3x^2 + x.
O conteúdo é “equação linear não homogênea com termo fonte polinomial”. Vamos usar o método do complemento geral (solução da homogênea) somado a uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Encontramos a solução geral da equação homogênea
y'' - y' - 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0
cuja solução são as raízes r=2 e r=-1. Logo a parte homogênea é
y_h = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o termo não homogêneo é o polinômio 3x^2 + x, supomos
y_p = Ax^2 + Bx + C.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 2Ax + B, \quad y_p'' = 2A.

Passo 4

Substituímos em y'' - y' - 2y = 3x^2 + x\): \[2A - (2Ax + B) - 2\bigl(Ax^2 + Bx + C\bigr) = -2A\,x^2 - (2A+2B)x + (2A - B - 2C).
Isso deve coincidir com 3x^2 + x. Igualando coeficientes:
\begin{cases} -2A = 3,\\\\ -(2A + 2B) = 1,\\\\ 2A - B - 2C = 0. \end{cases}
Da primeira: A = -\tfrac32\]. Da segunda: \(2A+2B=-1 \Rightarrow -3+2B=-1 \Rightarrow B=1.
Da terceira: 2(-\tfrac32)-1-2C=0 \Rightarrow -3-1-2C=0 \Rightarrow C=-2.

Passo 5

A solução particular fica
y_p = -\tfrac32\,x^2 + x - 2.
Portanto a solução geral é
y = y_h + y_p = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-x} - \tfrac32\,x^2 + x - 2.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-x} \;-\;\tfrac32\,x^2 + x - 2.

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