O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 3x^2 + x.
O conteúdo é “equação linear não homogênea com termo fonte polinomial”. Vamos usar o método do complemento geral (solução da homogênea) somado a uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Encontramos a solução geral da equação homogênea
y'' - y' - 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0
cuja solução são as raízes r=2 e r=-1. Logo a parte homogênea é
y_h = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-x}.
Passo 3
Para a solução particular y_p, como o termo não homogêneo é o polinômio 3x^2 + x, supomos
Da primeira: A = -\tfrac32\].
Da segunda: \(2A+2B=-1\Rightarrow-3+2B=-1\RightarrowB=1.
Da terceira: 2(-\tfrac32)-1-2C=0\Rightarrow-3-1-2C=0\RightarrowC=-2.
Passo 5
A solução particular fica
y_p = -\tfrac32\,x^2 + x - 2.
Portanto a solução geral é
y = y_h + y_p = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-x} - \tfrac32\,x^2 + x - 2.
Resposta
y(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-x} \;-\;\tfrac32\,x^2 + x - 2.