Exemplo 10 - Resolva a EDO
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=e^{\wedge} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-6\,y^{\prime}+8\,y = e^{x}.
O método geral é obter a solução homogênea pela equação característica e depois adicionar uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h^{\prime\prime}-6\,y_h^{\prime}+8\,y_h=0
e montamos a equação característica
r^2 -6\,r +8 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 -4\cdot1\cdot8}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}
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r_1 = 4,\quad r_2 = 2.
Assim
y_h = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p, notamos que o termo não homogêneo é e^{x} e 1 não é raiz da característica. Fazemos a suposição
y_p = A\,e^{x},
onde A é constante a determinar. Calculamos
y_p^{\prime} = A\,e^{x}, \quad y_p^{\prime\prime} = A\,e^{x}.

Passo 4

Substituindo em y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+8y = e^{x}, obtemos
A\,e^{x} -6A\,e^{x} +8A\,e^{x} = (1 -6 +8)A\,e^{x} = 3A\,e^{x}.
Isso deve igualar e^{x}, então
3A\,e^{x} = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad 3A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{3}.
Logo
y_p = \frac{1}{3}\,e^{x}.

Passo 5

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = y_h + y_p = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x} + \frac{1}{3}e^{x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x} + \tfrac{1}{3}e^{x}.

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