Exemplo 9 - Encontre a solução geral para a equação diferencial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=3 e^{\wedge} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 4y = 3e^{2t}.
O método será: (i) encontrar a solução geral y_h da equação homogênea associada usando a equação característica; (ii) obter uma solução particular y_p por coeficientes indeterminados; (iii) somar y_h + y_p.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - 3y' - 4y = 0.
Escrevendo a equação característica em r:
r^2 - 3r - 4 = 0.
Resolvendo-a,
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \quad\Longrightarrow\quad r_1 = 4,\; r_2 = -1.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é 3e^{2t} e 2 não é raiz da característica, tentamos
y_p(t) = A e^{2t}.
Calculando derivadas:
y_p' = 2A e^{2t}, \quad y_p'' = 4A e^{2t}.
Substituindo na equação original:
y_p'' - 3y_p' - 4y_p = \bigl(4A - 3\cdot 2A - 4A\bigr)e^{2t} = (-6A)e^{2t} \stackrel{!}{=}3e^{2t}.
Portanto
-6A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac12.
Assim,
y_p(t) = -\tfrac12e^{2t}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} - \tfrac12 e^{2t}.

Resposta

y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} - \frac12 e^{2t}.

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