Exemplo 13 - Resolva
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=2 \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 3y' - 4y = 2\sin t.
O método consiste em achar primeiro a solução geral da parte homogênea y_h (usando a equação característica) e depois uma solução particular y_p por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 3y' - 4y = 0
e montamos a equação característica
\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0.
Resolvendo, \,\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 +16}}{2} = \frac{3\pm5}{2}, o que dá \lambda_1=4 e \lambda_2=-1.
Logo
y_h(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
y_p(t) = A\cos t + B\sin t.
Calculando derivadas:
y_p' = -A\sin t + B\cos t,\quad y_p'' = -A\cos t - B\sin t.
Substituindo em y'' - 3y' -4y obtemos
(-A\cos t - B\sin t) -3(-A\sin t + B\cos t) -4(A\cos t + B\sin t)
= (-5A - 3B)\cos t + (3A -5B)\sin t.
Precisamos que isso seja igual a 2\sin t.

Passo 4

Igualando coeficientes de \cos t\) e \(\sin t\) surge o sistema \[\begin{cases} -5A - 3B = 0,\\\\ 3A - 5B = 2. \end{cases}
Da primeira equação (A = -\tfrac{3}{5}B]. Substituindo na segunda:
3\Bigl(-\tfrac{3}{5}B\Bigr) -5B = 2 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{9}{5}B - \tfrac{25}{5}B = 2 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{34}{5}B = 2 \;\Longrightarrow\; B = -\tfrac{10}{34} = -\tfrac{5}{17},
e então
A = -\tfrac{3}{5}\Bigl(-\tfrac{5}{17}\Bigr) = \tfrac{3}{17}.
Portanto
y_p(t) = \frac{3}{17}\cos t - \frac{5}{17}\sin t.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} + \frac{3}{17}\cos t - \frac{5}{17}\sin t.

Resposta

y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} + \frac{3}{17}\cos t - \frac{5}{17}\sin t.

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