Exemplo 14. Uma partícula se move sobre uma circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} no sentido anti-horário e com velocidade angular constante e igual a um giro por segundo. Suponha que, pata t=0, a posição seja o ponto P_{0}=(a, 0). Determine: (i) uma parametrização do movimento da partícula em função do tempo t (e não do ângulo \theta ); (ii) o vetor velocidade instantânea; (iii) o vetor aceleração instantânea.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula em movimento circular de raio a com velocidade angular constante de uma volta por segundo. Precisamos usar o conceito de movimento circular uniforme, onde a velocidade angular \omega é fixa, para (i) obter \mathbf{r}(t), (ii) calcular \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e (iii) \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t).

Passo 2

Como a partícula dá uma volta completa por segundo, sua velocidade angular é
\omega = 2\pi\\ \text{rad/s}.
Escolhendo a condição inicial \mathbf{r}(0)=(a,0) e o sentido anti-horário, a parametrização é
\mathbf{r}(t) = \bigl(a\cos(\omega t),\,a\sin(\omega t)\bigr) = \bigl(a\cos(2\pi t),\,a\sin(2\pi t)\bigr).

Passo 3

Para obter o vetor velocidade, derivamos componente a componente:
\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \bigl(-a\omega\sin(\omega t),\;a\omega\cos(\omega t)\bigr) = \bigl(-2\pi a\sin(2\pi t),\,2\pi a\cos(2\pi t)\bigr).

Passo 4

Derivando novamente para achar a aceleração instantânea:
\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \bigl(-a\omega^2\cos(\omega t),\;-a\omega^2\sin(\omega t)\bigr) = \bigl(-4\pi^2 a\cos(2\pi t),\;-4\pi^2 a\sin(2\pi t)\bigr).
Note que \mathbf{a}(t) = -\omega^2\,\mathbf{r}(t) indica aceleração centrípeta de módulo \omega^2a apontando para o centro.

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos(2\pi t),\,a\sin(2\pi t)\bigr)
(ii) \displaystyle \mathbf{v}(t)=\bigl(-2\pi a\sin(2\pi t),\,2\pi a\cos(2\pi t)\bigr)
(iii) \displaystyle \mathbf{a}(t)=\bigl(-4\pi^2 a\cos(2\pi t),\;-4\pi^2 a\sin(2\pi t)\bigr)

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