Exemplo 13
Considere a sequência
Tarefas
- Expanda
usando a fórmula do binômio, como foi feito no livro.
- Reescreva os termos da expansão na forma apresentada no exemplo.
- Explique por que todas as parcelas obtidas são positivas.
- Mostre por que a sequência (
) é crescente.
- Mostre, como no livro, que
- Use o Exemplo 12 para concluir que (
) é limitada.
- Acompanhe o argumento do livro e conclua que
Para pensar
- Qual é o papel da comparação com a sequência (
)?
- Por que o livro fixa
e depois faz
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. A sequência dada é
O enunciado pede, em ordem:
- Expandir
usando a fórmula do binómio. - Reescrever os termos da expansão na forma usada no livro.
- Explicar por que todas as parcelas obtidas são positivas.
- Mostrar que a sequência
é crescente. - Mostrar que
(onde, pelo contexto usual, ). - Usar o Exemplo 12 para concluir que
é limitada. - Seguir o argumento do livro e concluir que
Também há duas questões para pensar: o papel da comparação com
e por que o livro fixa
antes de fazer
. Vou tratar delas ao final do desenvolvimento.
Passo 2
Expansão de
pela fórmula do binómio. A fórmula do binómio diz que, para qualquer
,
Aqui tomamos
. Assim
Passo 3
Reescrever os termos da expansão na forma do livro. Use a expressão da combinação
Substituindo em cada termo da soma,
Fatorando
no denominador, obtemos a forma de produto
Portanto a expansão completa fica
onde, por convenção, para
o produto vazio vale
, e para
o produto também vale
. Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
Passo 4
Por que todas as parcelas são positivas. Observe cada parcela na forma
Para
ou
temos
. Para
cada fator do produto
satisfaz
porque
. Assim o produto é positivo e
. Logo
para todo
aparecendo na soma. Conclusão: todas as parcelas da expansão de
são estritamente positivas.
Passo 5
Mostrar que
é crescente. A ideia é observar o comportamento, para
fixo, do termo
quando
aumenta. Para
fixo e
, cada fator
cresce com
(porque
diminui quando
cresce). Assim o produto inteiro cresce com
. Em outras palavras, para todo
fixo e para todo
,
Agora compare as somas:
Separando a soma de
em dois pedaços,
Para cada
temos
, e além disso a parcela extra
é positiva. Portanto somando todas as desigualdades obtemos
. Isso vale para todo
, então
é crescente.
Comentário intuitivo: os primeiros termos da expansão aproximam, para
grande, os termos
; ao aumentar
cada parcela (para índice fixo) aproxima-se de
por cima, logo a soma cresce.
Passo 6
Mostrar que
. Defina a sequência conhecida
Comparando termo a termo, para todo
com
temos
porque cada fator do produto é
. Assim
Somando essas desigualdades para
até
obtemos
Além disso, para
pelo menos um dos fatores do produto é estritamente menor que
, então a desigualdade é estrita para
; portanto para
temos
.
Passo 7
Usar o Exemplo 12 para concluir que
é limitada. Pelo contexto habitual (e como pedido no enunciado), o Exemplo 12 trata da sequência dos somatórios das inversas de fatoriais e mostra que
é crescente e limitada superiormente por
(na verdade
). Admitindo esse resultado do Exemplo 12, já que para todo
temos
(e estritamente
para
), segue que
é limitada superiormente por a mesma constante que limita
. Como também mostramos que
é crescente, concluímos que
é monotona crescente e limitada acima, logo convergente (teorema do limite para sequências monótonas).
Passo 8
Concluir que
seguindo o argumento do livro. Já sabemos que
é crescente e limitada, logo existe o limite
Queremos mostrar
. A estratégia padrão (e a do livro) é comparar termos fixos da expansão com
e trocar a ordem dos limites com um parâmetro fixo
.
Fixe um inteiro
. Para cada
a sequência de termos
satisfaz
quando
(porque cada fator
e a sequência é crescente em
). Portanto, passando ao limite em
para a soma parcial até
,
Isto vale para todo
. Como a soma parcial à direita tende a
quando
, obtemos
Por outro lado já tínhamos
(pois
e
). Assim
logo ambos coincidem em
. Conclusão:
Passo 9
Respostas às questões “Para pensar” (breves, para clarear a intuição).
-
Qual é o papel da comparação com a sequência
?
A comparação fornece um limite superior conhecido:converge para . Mostrar dá uma cota superior fixa (independente de ) que, junto com a monotonicidade, garante convergência de e permite concluir que seu limite é no máximo . Em suma, serve como uma “barreira” superior conhecida. -
Por que o livro fixa
e depois faz ?
Porque para cadafixo (com ) é fácil controlar o termo quando : ele tende para . Fixando permite extrair uma soma parcial estável que, ao fazer , converge para a soma parcial da série exponencial. Depois faz-se para recuperar toda a soma infinita . Essa troca de passos (primeiro com fixo, depois ) é uma técnica clássica para passar de limites finitos para somas infinitas de termos que dependem de dois índices.