Exemplo 13
Considere a sequência
b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} .
Tarefas
  1. Expanda b_{n} usando a fórmula do binômio, como foi feito no livro.
  2. Reescreva os termos da expansão na forma apresentada no exemplo.
  3. Explique por que todas as parcelas obtidas são positivas.
  4. Mostre por que a sequência ( b_{n} ) é crescente.
  5. Mostre, como no livro, que
b_{n}<a_{n}
  1. Use o Exemplo 12 para concluir que ( b_{n} ) é limitada.
  2. Acompanhe o argumento do livro e conclua que
\lim b_{n}=e
Para pensar
  1. Qual é o papel da comparação com a sequência ( a_{n} )?
  2. Por que o livro fixa p \in \mathbb{N} e depois faz n \rightarrow \infty ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. A sequência dada é
b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
O enunciado pede, em ordem:
  1. Expandir b_{n} usando a fórmula do binómio.
  2. Reescrever os termos da expansão na forma usada no livro.
  3. Explicar por que todas as parcelas obtidas são positivas.
  4. Mostrar que a sequência (b_{n}) é crescente.
  5. Mostrar que b_{n}<a_{n} (onde, pelo contexto usual, a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}).
  6. Usar o Exemplo 12 para concluir que (b_{n}) é limitada.
  7. Seguir o argumento do livro e concluir que
\lim b_{n}=e.
Também há duas questões para pensar: o papel da comparação com (a_{n}) e por que o livro fixa p\in\mathbb{N} antes de fazer n\to\infty. Vou tratar delas ao final do desenvolvimento.

Passo 2

Expansão de b_{n} pela fórmula do binómio. A fórmula do binómio diz que, para qualquer x,
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Aqui tomamos x=\dfrac{1}{n}. Assim
b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}.

Passo 3

Reescrever os termos da expansão na forma do livro. Use a expressão da combinação
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Substituindo em cada termo da soma,
\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}.
Fatorando n^{k} no denominador, obtemos a forma de produto
\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).
Portanto a expansão completa fica
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right),
onde, por convenção, para k=0 o produto vazio vale 1, e para k=1 o produto também vale 1. Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
b_{n}=1+1+\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)+\frac{1}{6}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)\Bigl(1-\frac{2}{n}\Bigr)+\cdots.

Passo 4

Por que todas as parcelas são positivas. Observe cada parcela na forma
t_{n,k}:=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).
Para k=0 ou k=1 temos t_{n,k}=1>0. Para 2\le k\le n cada fator do produto \left(1-\dfrac{j}{n}\right) satisfaz 0<1-\dfrac{j}{n}\le 1 porque 0\le j\le k-1\le n-1. Assim o produto é positivo e 1/k!>0. Logo t_{n,k}>0 para todo k aparecendo na soma. Conclusão: todas as parcelas da expansão de b_{n} são estritamente positivas.

Passo 5

Mostrar que (b_{n}) é crescente. A ideia é observar o comportamento, para k fixo, do termo
t_{n,k}=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)
quando n aumenta. Para k fixo e n\ge k, cada fator \left(1-\dfrac{j}{n}\right) cresce com n (porque \dfrac{j}{n} diminui quando n cresce). Assim o produto inteiro cresce com n. Em outras palavras, para todo k fixo e para todo n\ge k,
t_{n+1,k}>t_{n,k}.
Agora compare as somas:
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}t_{n,k},\qquad b_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}t_{n+1,k}.
Separando a soma de b_{n+1} em dois pedaços,
b_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}t_{n+1,k}+t_{n+1,n+1}.
Para cada k\in\{0,\dots,n\} temos t_{n+1,k}>t_{n,k}, e além disso a parcela extra t_{n+1,n+1} é positiva. Portanto somando todas as desigualdades obtemos b_{n+1}>b_{n}. Isso vale para todo n, então (b_{n}) é crescente.
Comentário intuitivo: os primeiros termos da expansão aproximam, para n grande, os termos 1/k!; ao aumentar n cada parcela (para índice fixo) aproxima-se de 1/k! por cima, logo a soma cresce.

Passo 6

Mostrar que b_{n}<a_{n}. Defina a sequência conhecida
a_{n}:=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}.
Comparando termo a termo, para todo k com 0\le k\le n temos
\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\le 1,
porque cada fator do produto é \le 1. Assim
t_{n,k}=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\le\frac{1}{k!}.
Somando essas desigualdades para k=0 até k=n obtemos
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}t_{n,k}\le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=a_{n}.
Além disso, para k\ge 2 pelo menos um dos fatores do produto é estritamente menor que 1, então a desigualdade é estrita para n\ge 2; portanto para n\ge 2 temos b_{n}<a_{n}.

Passo 7

Usar o Exemplo 12 para concluir que (b_{n}) é limitada. Pelo contexto habitual (e como pedido no enunciado), o Exemplo 12 trata da sequência dos somatórios das inversas de fatoriais e mostra que
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}
é crescente e limitada superiormente por e (na verdade a_{n}\to e). Admitindo esse resultado do Exemplo 12, já que para todo n temos b_{n}\le a_{n} (e estritamente < para n\ge 2), segue que (b_{n}) é limitada superiormente por a mesma constante que limita (a_{n}). Como também mostramos que (b_{n}) é crescente, concluímos que (b_{n}) é monotona crescente e limitada acima, logo convergente (teorema do limite para sequências monótonas).

Passo 8

Concluir que \lim b_{n}=e seguindo o argumento do livro. Já sabemos que (b_{n}) é crescente e limitada, logo existe o limite
L:=\lim_{n\to\infty}b_{n}\in\mathbb{R},\qquad L\le e.
Queremos mostrar L=e. A estratégia padrão (e a do livro) é comparar termos fixos da expansão com 1/k! e trocar a ordem dos limites com um parâmetro fixo p.
Fixe um inteiro p\ge 0. Para cada k\in\{0,1,\dots,p\} a sequência de termos t_{n,k}=\dfrac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\dfrac{j}{n}\right) satisfaz t_{n,k}\uparrow \dfrac{1}{k!} quando n\to\infty (porque cada fator 1-j/n\to 1 e a sequência é crescente em n). Portanto, passando ao limite em n para a soma parcial até p,
\liminf_{n\to\infty} b_{n} \ge \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{p} t_{n,k}=\sum_{k=0}^{p}\frac{1}{k!}.
Isto vale para todo p. Como a soma parcial à direita tende a \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!}=e quando p\to\infty, obtemos
\liminf_{n\to\infty} b_{n} \ge e.
Por outro lado já tínhamos \limsup_{n\to\infty} b_{n}\le e (pois b_{n}\le a_{n} e a_{n}\to e). Assim
\liminf_{n\to\infty} b_{n}\ge e \quad\text{e}\quad \limsup_{n\to\infty} b_{n}\le e,
logo ambos coincidem em e. Conclusão:
\lim_{n\to\infty} b_{n}=e.

Passo 9

Respostas às questões “Para pensar” (breves, para clarear a intuição).
  1. Qual é o papel da comparação com a sequência (a_{n})?
    A comparação fornece um limite superior conhecido: a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!} converge para e. Mostrar b_{n}\le a_{n} dá uma cota superior fixa (independente de n) que, junto com a monotonicidade, garante convergência de (b_{n}) e permite concluir que seu limite é no máximo e. Em suma, (a_{n}) serve como uma “barreira” superior conhecida.
  2. Por que o livro fixa p\in\mathbb{N} e depois faz n\to\infty?
    Porque para cada k fixo (com k\le p) é fácil controlar o termo \binom{n}{k}n^{-k} quando n\to\infty: ele tende para 1/k!. Fixando p permite extrair uma soma parcial estável que, ao fazer n\to\infty, converge para a soma parcial da série exponencial. Depois faz-se p\to\infty para recuperar toda a soma infinita e. Essa troca de passos (primeiro n\to\infty com p fixo, depois p\to\infty) é uma técnica clássica para passar de limites finitos para somas infinitas de termos que dependem de dois índices.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_{n}=e

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