O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = 5\cos(t).
O método que vamos usar é: primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada (parte complementar) resolvendo a equação característica; em seguida, obter uma solução particular por coeficientes indeterminados; por fim, somar as duas contribuições.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
y_h'' + y_h' -6y_h = 0
e montamos a equação característica
r^2 + r -6 = 0.
Resolvendo
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 +24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
obtém-se r_1 = 2 e r_2 = -3. Logo
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.
Passo 3
Para a solução particular y_p usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é 5\cos(t), chutamos