Exemplo 14 - Resolva

y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=5 \cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = 5\cos(t).
O método que vamos usar é: primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada (parte complementar) resolvendo a equação característica; em seguida, obter uma solução particular por coeficientes indeterminados; por fim, somar as duas contribuições.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h'' + y_h' -6y_h = 0
e montamos a equação característica
r^2 + r -6 = 0.
Resolvendo
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 +24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
obtém-se r_1 = 2 e r_2 = -3. Logo
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Para a solução particular y_p usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é 5\cos(t), chutamos
y_p(t) = A\cos(t) + B\sin(t).
Calculamos as derivadas:
y_p'(t) = -A\sin(t) + B\cos(t), \quad y_p''(t) = -A\cos(t) - B\sin(t).

Passo 4

Substituímos em y''+y'-6y e igualamos a 5\cos(t):
y_p'' + y_p' -6y_p = \bigl(-A + B -6A\bigr)\cos(t) + \bigl(-B -A -6B\bigr)\sin(t).
Agrupando coeficientes:
(-7A + B)\cos(t) + (-A -7B)\sin(t) = 5\cos(t) + 0\sin(t).
Isso leva ao sistema
\begin{cases} -7A + B = 5,\\\\ -A \;-\;7B = 0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, de -A -7B=0 vem A = -7B. Substituindo em -7A + B =5
-7(-7B) + B = 5 \;\Rightarrow\; 49B + B = 5 \;\Rightarrow\; 50B = 5 \;\Rightarrow\; B = \tfrac{1}{10},
logo A = -\tfrac{7}{10}. Assim
y_p(t) = -\tfrac{7}{10}\cos(t) + \tfrac{1}{10}\sin(t).
A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} - \tfrac{7}{10}\cos(t) + \tfrac{1}{10}\sin(t).

Resposta

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} - \tfrac{7}{10}\cos(t) + \tfrac{1}{10}\sin(t).

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