Exemplo 15: Calcule:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \ln \left(x^{2}+2 x y-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)} \ln\bigl(x^{2}+2xy-1\bigr).
O conteúdo envolvido é o de limite de funções de duas variáveis e a propriedade de continuidade de funções compostas, em especial da função \ln no seu domínio (0,\infty).

Passo 2

Primeiro, determinamos o limite da função interior \displaystyle g(x,y)=x^{2}+2xy-1
quando (x,y)\to(1,2). Como g é polinomial, ela é contínua, então basta substituir:
\lim_{(x,y)\to(1,2)}g(x,y) =1^{2}+2\cdot1\cdot2-1 =1+4-1 =4.

Passo 3

A função \ln é contínua em todo ponto de seu domínio (0,\infty). Como o valor limite do interior é 4>0, podemos passar o limite para dentro do \ln:
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\ln\bigl(g(x,y)\bigr) =\ln\!\bigl(\lim_{(x,y)\to(1,2)}g(x,y)\bigr) =\ln(4).

Resposta

\ln(4)

Exercícios relacionados