No instante \mathrm{t}=0, uma corrente de 2 amperes flui em um circuito RLC com resistência \mathrm{R}= 40 \Omega, indutância L=0,2 henry e capacitância C=10-5 farad. Encontre a corrente que flui no circuito para t>0 se a carga inicial no capacitor for de 1 coulomb. Assuma que E(t)=0 para t>0.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC sem fonte para t>0. Temos os dados iniciais:
i(0)=2\text{ A},\quad q(0)=1\text{ C},
e os parâmetros
R=40\\ \Omega,\quad L=0,2\\ \mathrm{H},\quad C=10^{-5}\\ \mathrm{F}.
Queremos encontrar a corrente i(t) para t>0. O conteúdo necessário é a equação diferencial homogênea de um circuito RLC série e sua solução via equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial para a carga q(t):
L\,\frac{d^2q}{dt^2}+R\,\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}\,q=0.
Como i(t)=\tfrac{dq}{dt}, ao resolver para q(t) obtemos em seguida i(t).

Passo 3

Montamos a equação característica:
0,2\,r^2+40\,r+10^5=0.
Dividindo por 0,2:
r^2+200\,r+5\times10^5=0.
O discriminante é
\Delta=200^2-4\cdot1\cdot5\times10^5=4\times10^4-2\times10^6=-1,96\times10^6<0,
logo há solução subamortecida com
r=-100\pm j\,700.

Passo 4

A solução geral para a carga é
q(t)=e^{-100t}\bigl(A\cos(700t)+B\sin(700t)\bigr).
Aplicamos as condições iniciais:
  1. q(0)=A=1.
  2. i(0)=q'(0)=2. Calculando q'(t):
q'(t)=e^{-100t}\Bigl[-100(A\cos700t+B\sin700t)-700A\sin700t+700B\cos700t\Bigr].
Em t=0:
q'(0)=-100A+700B=-100+700B=2 \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{102}{700}\approx0,1457.

Passo 5

Substituindo A e B em q'(t)=i(t), obtemos
i(t)=e^{-100t}\Bigl[(-100\cdot1+700\cdot B)\cos700t+(-100B-700)\sin700t\Bigr].
Como -100+700B=2 e -100B-700\approx-714,57, resulta
i(t)=e^{-100t}\bigl[2\cos(700t)-714,57\sin(700t)\bigr]\quad\text{(A)}.

Passo 6

Portanto, a expressão final da corrente para t>0 é
\boxed{ i(t)=e^{-100t}\bigl[2\cos(700t)-714,57\sin(700t)\bigr]\text{ A}. }

Resposta

i(t)=e^{-100t}\bigl[2\cos(700t)-714,57\sin(700t)\bigr]\text{ A}.

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