Exemplo 14 - Resolva

y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=5 \cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante cosseno:
y'' + y' - 6y = 5\cos(t).
O método é escrever a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada:
r^2 + r - 6 = 0.
Fatorando, temos (r+3)(r-2)=0, ou seja r_1=2 e r_2=-3. Logo a solução da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o forçante é 5\cos(t), supomos
y_p(t) = A\cos(t) + B\sin(t).
Então
y_p' = -A\sin(t) + B\cos(t), \quad y_p'' = -A\cos(t) - B\sin(t).
Substituindo em y'' + y' - 6y, obtemos
(-A\cos t - B\sin t) +(-A\sin t + B\cos t) -6(A\cos t + B\sin t) =(-7A + B)\cos t +(-A -7B)\sin t.

Passo 4

Esse resultado deve igualar a 5\cos(t)\), ou seja \[\begin{cases} -7A + B = 5,\\\\ -\,A - 7B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (A = -7B]. Substituindo na primeira:
-7(-7B) + B = 5 \quad\Longrightarrow\quad 49B + B =5 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{10},
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A = -7B = -\tfrac{7}{10}.

Passo 5

A solução particular fica
y_p(t) = -\tfrac{7}{10}\cos(t) + \tfrac{1}{10}\sin(t),
e a solução geral da equação é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} - \tfrac{7}{10}\cos(t) + \tfrac{1}{10}\sin(t).

Resposta

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t} - \frac{7}{10}\cos(t) + \frac{1}{10}\sin(t).

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